Contar Puntos de Enrejado con Polinomios Ehrhart

Question

Deje $\bar{\mathcal{P}}$ denotar el cerrado, convexo polytope con vértices en el origen y en el positivo de puntos racionales $(b_{1}, \dots, 0), \dots, (0, \dots, b_{n})$. Definir el Ehrhart cuasi-polinomio $L_{\mathcal{P}}(t) = |t \bar{\mathcal{P}} \cap \mathbb{Z}^{n}|$, que tiene la forma: $\sum c_{k}(t) \ t^{k}$ con funciones periódicas $c_{k}(t)$.

Pregunta 1: Cuando es el Ehrhart cuasi-polinomio un polinomio, es decir, las funciones $c_{k}(t)$ son constantes? ¿Este fenómeno sólo se producen cuando los vértices están en la integral de celosía de puntos (es decir, $b_{i}$ son enteros positivos)?

Pregunta 2: Supongamos que tengo un polinomio de Ehrhart en un indeterminado $t$. ¿Cuál es la importancia del valor de la función racional (no integral) $t$?

Pregunta 3: Supongamos que me gustaría contar soluciones positivas (en lugar de no-negativo soluciones) de $\sum \frac{x_i}{b_i} \leq t$ $t$ positivo y fijo. Suponiendo que $b_{i}$ son enteros positivos, ¿cuál es el correspondiente "Ehrhart-como" polinomio en $t$ que enumera el (positivo) son parte integrante de los puntos en el $t$-dilatar $t\bar{\mathcal{P}}$? Se desprende de una variable simple cambio en $t$ o $b_{i}$?

(Actualización) Aquí es un ejemplo de lo que estoy tratando de hacer. Supongamos que me gustaría para calcular el entero no negativo, las soluciones de \begin{eqnarray} 21 x_{1} + 14 x_{2} + 6 x_{3} \leq 1 \end{eqnarray} (correspondiente al número de enteros positivos soluciones de $21 x_{1} + 14 x_{2} + 6 x_{3} \leq 42$). Equivalentemente, dividiendo por el producto $6 \cdot 14 \cdot 21 = 1764$, podemos considerar \begin{eqnarray} \frac{x_{1}}{84} + \frac{x_2}{126} + \frac{x_3}{294} \leq \frac{1}{1764}. \end{eqnarray} Aquí, $\mathbf{b} = (84, 126,294)$, por lo que el correspondiente polytope es integral. El polinomio de Ehrhart para $t$-dilata es \begin{eqnarray} L_{\bar{\mathcal{P}}}(t) = 1 + 231 t + 18522 t^{2} + 518616 t^{3}, \end{eqnarray} pero la configuración de $t = \frac{1}{1764}$ da una respuesta sin sentido. Mi impresión inicial es que junto con violando el requisito de que $t$ debe ser un número entero, lo que soy en realidad, el cálculo es el número de celosía puntos en el $t$-se dilatan de la polytope definido por $\frac{1}{1764}$ reemplazados con $1$. Hay un esquema de interpolación para calcular correctamente el número de no-negativo soluciones de la primera ecuación por encontrar los valores de $L_{\bar{\mathcal{P}}}(0)$$L_{\bar{\mathcal{P}}}(1)$? Los pensamientos?

Gracias!

Answer 1

Para la pregunta 3, por la ley de reciprocidad$(-1)^{n}P(-t)$ cuenta las soluciones enteras positivas de$\sum x_i/b_i<t$ donde$P$ es el plynomial Ehrhart del$n$ - simplex con vértices$(0,\ldots,0)$ y el $(0,\ldots,b_i,\ldots,0)$. Esto es corto de su objetivo por el número de soluciones enteras positivas de$\sum x_i/b_i=t$. Pero eso es$(-1)^{n-1}Q(-t)$ donde$Q$ es el polinomio Ehrhart del$(n-1)$ - simplex con vértices el$(0,\ldots,b_i,\ldots,0)$.

Answer 2

( Respuesta parcial a la pregunta 1 ) No, este fenómeno no se limita a los politopos convexos integrales. Hay ejemplos de politopos convexos racionales no integrales con cuasi-polinomios de Ehrhart que son polinomios. Vea esta referencia .