Si el normalizador de un subgrupo en un grupo es igual al subgrupo entonces ¿es el subgrupo abeliano?

Question

Si $H$ es un subgrupo propio de $G$ tal que $H=N_G(H)$ ( el normalizador de $H$ en $G$ ) , entonces es cierto que $H$ ¿es abeliano?

Answer 1

Dejemos que $A \ast B$ sea cualquier producto libre no trivial, es decir $A,B \neq \{1\}$ . Entonces el normalizador de $A$ (resp. $B$ ) es $A$ (resp. $B$ ). Sin embargo, no hay ninguna restricción en los grupos $A$ o $B$ .

Answer 2

Ya que nadie ha publicado un contraejemplo sencillo, aquí va:

Considere $G=S_4$ y $H=S_3$ considerado como un subgrupo de $G$ (es decir, como el estabilizador de uno de los $4$ puntos $G$ actúa de forma natural). Luego están $4$ conjugados de $H$ (los estabilizadores del $4$ puntos son todos conjugados) pero también $4=[G:H]$ por lo que $N_G(H)=H$ y $H$ no es obviamente abeliana.

Answer 3

Quizá un contraejemplo más o menos sencillo (¡pero no tan dolorosamente sencillo como el de D. Holt en su comentario!) sea:

$$G=S_4\;,\;\;H\cong D_4=\text{one of the three Sylow $ 2 $- subgroups of}\;\;G$$

Si $\;D_4\lneq H_G(D_4)\;$ entonces debe sea $\;H_G(D_4)=G\;$ (¿por qué?), pero esto es imposible (¿por qué?) , y por lo tanto tiene que ser $\;H=G_H(D_4)\;$ y $\;D_4\;$ no es abeliano.

Recuerda: un grupo finito es nilpotente si cada adecuado subgrupo cumple la condición de normalizador, lo que significa que está correctamente contenido en su normalizador. Así, se trataba de buscar un grupo finito no nilpotente. $\;S_3\;$ no pasa el corte ya que todos sus subgrupos propios son abelianos, así que probemos con el siguiente, y etc.

Answer 4

En general, si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $H \unlhd G$ si $G=N_G(H)$ . $H$ es abeliano si $H \subseteq C_G(H)$ . Aquí $C_G(H)=\{g \in G : gh=hg \text { for all } h \in H\}$ El centralizador de $H$ en $G$ . Tenga en cuenta que $C_G(H) \subseteq N_G(H)$ . Así que $H=C_G(H)$ implicaría, en efecto, que $H$ siendo abeliana.

Ahora le daré un contraejemplo general a su OP original. Utilizaré un hecho bien conocido sobre Sylow $p$ -subgrupos: si $P \in Syl_p(G)$ y $H=N_G(P)$ entonces $N_G(H)=H$ . Así que elige un grupo $G$ con un no abeliano Sylow $p$ -subgrupo $P$ y que $H=N_G(P)$ . Entonces $H$ no puede ser abeliano, ya que $P \subseteq H$ y $P$ se eligió que no fuera abeliana. ¿Un ejemplo concreto? Véase, por ejemplo, el ejemplo de Timbuc. O tome uno de los Sylow $2$ -subgrupos de $A_6$ siendo isomorfo a $D_4$ el grupo diédrico de orden $8$ .

Answer 5

Un ejemplo más estructurado que muestra una parte de un patrón general es tomar $H$ sean matrices triangulares superiores en $G=GL_2(\mathbb F_q)$ .

De manera más general, $H$ pueden ser matrices triangulares superiores en $G=GL_n(\mathbb F_q)$ o incluso cualquier bloque -subgrupo triangular superior del mismo. Y el campo no tiene por qué ser finito.

Es decir, estos $H$ son los subgrupos parabólicos estándar de esos grupos lineales generales.