$\text{Evaluate:} \lim_{b \to 1^+} \int_1^b \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(b-x)}}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema

ps

Estoy tentado a pensar que es 0 porque los límites serían aproximadamente iguales, pero esa no es la respuesta correcta. Pero no sé qué técnicas de integración utilizar, por lo que cualquier sugerencia son muy apreciados.

No sé cómo resolver la integral indefinida.

Answer 1

Podemos resolver esto mediante el análisis complejo: La función de $x(x-1)(b-x)$ tiene un holomorphic raíz cuadrada $f$ $\mathbb{C}\setminus\left((-\infty,0]\cup[1,b]\right)$ debido a que cada bucle en este dominio de los círculos de dos ceros de $x(x-1)(b-x)$ - más concretamente, para $(r,\phi)\in (0,\infty)\times (-\pi,\pi)$,$g(re^{i\phi}) = \sqrt{r}e^\frac{i\phi}{2}$. A continuación, $g$ es el holomorphic extensión de $\sqrt\cdot$$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$, e $f(z)$ es el único holomorphic extensión de $ig(z)g(z-1)g(z-b)$ para el dominio dado anteriormente. De hecho, podemos comprobar directamente que para$x\in (0,1)$,$\lim_{\epsilon\to 0} f(x\pm i\epsilon) = i\sqrt{x(1-x)(b-x)}$, por lo que podemos extender $f$ a de este intervalo. Por otro lado, para$x\in [1,b]$,$\lim_{\epsilon\to 0} f(x\pm i\epsilon) = \mp\sqrt{x(x-1)(b-x)}$. Por lo tanto, tenemos $\int_1^b \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x(x-1)(b-x)}} = \frac{1}{2}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{1-\epsilon}^{b-\epsilon} f(z)\mathrm dz + \int_{b+\epsilon}^{1+\epsilon} f(z)\mathrm dz$, y en el límite, podemos cerrar esta ruta por los bordes verticales para obtener $\int_1^b \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x(x-1)(b-x)}} = \frac{1}{2} \oint_\gamma f(z)\mathrm d z$ donde $\gamma$ es cualquier camino que los círculos de la "hendidura" $[1,b]$ una vez en sentido antihorario. Para $b$ pequeños, podemos tomar, por ejemplo, la circunferencia de radio $\frac{1}{2}$$1$. A continuación, el camino de la integración no depende del $b$, y dominado por la convergencia podemos intercambiar el límite con la integración a ver que $ \lim_{h\to 0}\int_1^b \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x(x-1)(b-x)}} = \frac{1}{2}\oint_\gamma \frac{\mathrm d z}{g(z)i(z-1)}$ and by the Cauchy integral formula this is $\frac{2\pi i}{2ig(1)} = \pi$.

Answer 2

Primero puede notar que el$\frac{1}{\sqrt{x}}$ término está entre$1$ y$\frac{1}{\sqrt{b}}$, por lo que no hay necesidad de preocuparse por ello. De hecho, esta aproximación producirá un error relativo de como máximo$\sqrt{b}$.

En efecto,

ps

Entonces puede ver por un cambio afín de variable que el% integral% #% restante no depende de$$ \frac{1}{\sqrt{b}}I = \frac{1}{\sqrt{b}} \int_1^b \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(b-x)}} \leq \int_1^b \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(b-x)}} \leq \int_1^b \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(b-x)}} = I . $.

Todo lo que necesitas hacer entonces es un simple cambio de variable para mostrar que la respuesta es$I$. ¿Puedes intentar o quieres que lo deletree?

Answer 3

Sugerencia: Deje$~b=1+\epsilon,~$ donde$~\epsilon\to0^+,~$ y$~x=1+t,~$ donde$~t\in(0,\epsilon).~$