Cuando son expresiones algebraicas equivalentes?

Question

Esta pregunta surgió cuando me iba a determinar el dominio de $f \circ f(x)$.
Deje $f(x) = \dfrac{1-x}{1+x}$.
$f \circ f(x) = x, \quad$ , Pero el dominio no es $\mathbb{R}$ porque $f(x)$ no está definido para $x = -1$.

Esto tenía sentido para mí después de algún pensamiento, $f \circ f(x)$ es sólo equivalente a $x$ si $x \neq -1$, por lo que realmente uno necesita especificar el dominio.

Hasta ahí todo bien, pero luego me empezaron a cuestionar la forma en que me suele simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones. Si yo fuera a resolver la ecuación
$p_1(x) = q_1(x)$
Podría empezar a simplificar tanto las expresiones y venir para arriba con una simple ecuación:
$p_1(x) = q_1(x) \iff p_2(x) = q_2(x) \iff ... \iff p_n(x) = q_n(x)$
y aquí las $q_k(x)\iff q_t(x)\quad$ derecho?

Así que traté de subir con los casos cuando sentí que probablemente no iba a molestarse con la especificación de los dominios antes de la simplificación de una expresión, pero probablemente si la expresión se utiliza en una ecuación, como por ejemplo:

$\dfrac{1}{x} + x - \dfrac{1}{x} = 0$

Por lo general, tengo la sensación de que siempre han considerado a la mano izquierda como equivalente a $x$, si sólo le pedí a simplificar el lado izquierdo como una expresión. Pero la ecuación que hace que me confunda. Obviamente $\dfrac{1}{x}$ no está definida cuando $x = 0$, pero de nuevo, $\dfrac{1}{x}$ $-\dfrac{1}{x}$ cancelar el eachother, así que, ¿realmente importa que no están definidos al $x = 0$?

Traté de consultar wolframalpha, pero si puedo conectar en $x = x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x}$, se devuelve true y si puedo conectar en $x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} = 0$ no dar una respuesta, como si $0$ es sustituido por cualquier número real.

Así que ahora me siento como que he llegado a entender un concepto muy fundamental de las matemáticas, que es cuando las expresiones algebraicas que realmente puede ser visto como equivalente y si importa si son usados en las ecuaciones o no?

Answer 1

Usted ha venido a través de un buen punto (que muchos estudiantes pierden). Es decir, que cuando se trata con las composiciones de funciones, los dominios son muy importantes (y se debe mantener en la respuesta final).

Para el problema de la $f\circ f$, ya que el $f$ no está definido en $x=-1$, se deben evitar situaciones en las $x=-1$ o donde $f(x)=-1$. Ya que no hay soluciones a $f(x)=-1$ (si la hubo, $x$'s tendría que ser eliminado de la final de dominio), esto significa que su dominio sólo debe evitar la $x=-1$, por lo que es todos los números reales excepto para $x=-1$. Después de la simplificación, se encuentra que $f\circ f(x)=x$, pero esto no ha cambiado el dominio, de modo que podemos decir que $f\circ f(x)=x$ para todos los números reales excepto para $x=-1$ (por lo que el dominio es parte de la respuesta).

En algunas situaciones, una reemplazaría $f\circ f$ $x$ y extender el dominio; esto es debido a la singularidad en $x=-1$ es extraíble, es decir, existe otra función que está de acuerdo con $f\circ f$ siempre $f\circ f$ está definido y tiene un mayor dominio. En el análisis, esto es pensado en muchas formas y puede venir para arriba con clases de equivalencia de funciones medibles (desde $f\circ f$ $x$ está de acuerdo, excepto en un conjunto de medida cero) o con la analítica de las continuaciones en el análisis complejo (analítica de las continuaciones de ampliar el dominio de una función).

El segundo ejemplo, $x=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}$, podemos considerar a estos como expresiones algebraicas (y no como funciones). Las reglas son diferentes cuando los objetos son sólo expresiones algebraicas, porque no estamos de conectar para $x$. En general, podemos definir dos fracciones $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ a ser igual al $ad=bc$ (por la cruz de la multiplicación). En la expresión algebraica, no tenemos sustituto para $x$ (como en una fórmula para una función), así que no te preocupes cuando el denominador se desvanece.

En conclusión:

Algebraicamente: $x=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}$. Funciones: $g(x)=x$$h(x)=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}$, pero $g\not=h$ debido a que los dominios son diferentes. Funciones: Vamos a $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, $f\circ f(x)=x$ al $x\not=-1$. Algebraicamente: $f\circ f(x)=x$ Analíticamente: $f\circ f$ puede ser extendido a un mayor dominio por $x$.

Answer 2

Es importante ser conscientes de que Wolfram Alpha es una máquina, no una fuente de la verdad definitiva. Generalmente, usted puede confiar en sus cálculos, pero para los conceptos y la comprensión de lo que está haciendo, es mejor confiar en tu propio entendimiento. En el caso particular de $x+\frac1x-\frac1x$, Wolfram Alpha hace la conjetura de que usted probablemente no está interesado en lo que sucede en los puntos aislados donde la expresión original no está definida, por lo que presenta una versión simplificada de la expresión que es equivalente a la original cuando la expresión original es definido. Que no representa más profunda de la matemática, de la verdad; es sólo lo que los programadores se sentía probablemente será más útil para la mayoría de los usuarios.

Es un hecho que el lado izquierdo de $x+\frac1x-\frac1x=x$ no puede ser evaluado al $x=0$, y así la ecuación es no es verdad cuando se $x=0$. La pregunta entonces es, ¿debería importar? Sólo usted puede decidir si vale la pena cuidar, basado en lo que uso vas a hacer de la ecuación y el resultado. En muchos casos la "singularidad movible" a $x=0$ es completamente irrelevante para lo que realmente estamos haciendo, y es entonces razonable para olvidarse de él tan pronto como sea posible. En otros casos, puede ser una señal de que las cosas van a ser hinky alrededor de $x=0$ -- tal vez algunos de los efectos que usted pensó que usted podría negligencia cuando usted vino para arriba con $x+\frac1x-\frac1x$ no son realmente insignificantes para las pequeñas $x$, y necesita volver a la mesa de dibujo y hacer un análisis más profundo. Todo depende de donde la expresión $x+\frac1x-\frac1x$ proviene.

Si estás en un salón de clases y se han dado a la expresión de $x+\frac1x-\frac1x$ sin ningún tipo de contexto y le preguntó a la simplificación, que es generalmente el caso de que usted va a esperar a pretender a la atención acerca de los problemas en la $x=0$, en ausencia de cualquier razón no importa. Pero tenga en cuenta que este es un muy artificial situación, cuando en realidad se utiliza lo que has aprendido siempre habrá algún contexto que usted debe tener en cuenta para determinar si la falta de definedness en $x=0$ es un hecho relevante para usted o no.

Answer 3

La clave está en que $\frac{1-x}{1+x}$ carece de sentido cuando se $x=-1$.

Por lo $f(f(-1))=f(\mathrm{undefined})=\mathrm{undefined}$.

A la hora de simplificar, $$f(f(x))=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{1+x}{1+x}=\frac{1+x-1+x}{1+x+1-x}=\frac{2x}{2}=x$$

Pero multiplicando por $\frac{1+x}{1+x}$ sólo es válida cuando se $x\neq-1$. Así que sólo podemos simplificar la si $x\neq-1$.