La mayoría de los libros que se necesitan para el uso de los operadores diferenciales en las manos en forma de adoptar algunas de variación de la siguiente definición (aquí, por simplicidad, que estoy evitando la discusión de los operadores diferenciales entre paquetes):
Definición 1.
Un operador diferencial de orden $\leq k$ sobre una suave colector $M$ $\mathbb{R}$- lineal mapa de $D:C^{\infty}(M) \to C^{\infty} (M)$ de manera tal que en coordenadas locales se parece a $D f (p)= \sum_{i_1+...+i_n \leq k} A_{i_1 ... i_n}(p) \frac{\partial^{i_1+...+i_n} f}{\partial x_1^{i_1} ...x_n^{i_n}}|_p$ para algunos las funciones lisas $A_{i_1 ... i_n}$.
He estado buscando una definición que no emplean coordenadas de inmediato, y he encontrado la siguiente definición en las "Conferencias sobre la geometría de los colectores" por Liviu Nicolaescu y notas de la conferencia de Misha Verbitsky (que están en ruso), que es, creo, debido a Grothendieck:
Definición 2.
Definir operador diferencial de orden cero para ser la multiplicación por una función suave $m_f (g) = f \cdot g$, o, alternativamente, un operador $D$ de manera tal que el colector $[D, m_g]=D \circ m_g - m_g \circ D$ es cero para cualquier función suave g.
Definir de forma inductiva operador diferencial de orden $\leq k$ a ser un operador de $D$ tal que $[D, m_g]$ es un operador diferencial de orden $\leq k-1$ para cualquier liso $g$. Denota el conjunto de todos los operadores diferenciales de orden $\leq k$$Diff^k (M)$.
Luviu del libro que demuestra que los operadores diferenciales son locales en el sentido de que supp $D(f) \subset$ supp $f$, lo que significa que podemos restringir los operadores a abrir los subconjuntos de a $M$, como usualmente se hace para mostrar que el diferencial de la forma de una gavilla si uno empieza con enfoque de arriba hacia abajo pensando en formas diferenciales como la alternancia $C^{\infty}(M)$ multilineal mapas de campos vectoriales.
Naturalmente, esto me lleva a la primera pregunta:
No debería la segunda definición, ser modificado de modo que un diferencial el operador es una gavilla homomorphism en vez de ser lineal en el mapa entre las funciones definidas globalmente?
Misha más tarde, en sus notas de la muestra en una serie de ejercicios, que si uno define el símbolo de álgebra $\oplus S^i := \oplus \frac{Diff^i(M)}{Diff^{i-1}(M)}$, que es un álgebra sobre $C^{\infty}(M)$, entonces es isomorfo a $Sym^{\bullet} \mathfrak{X}$ - álgebra simétrica sobre los campos vectoriales.
Finalmente se le pide al lector a demostrar que para el caso de $M=\mathbb{R}^n$ tenemos un isomorfismo de álgebras de $Diff^k(\mathbb{R}^n) \cong \oplus_{i \leq k} Sym^i \mathfrak{X(\mathbb{R}^n)}$, que es básicamente el local del formulario de la primera definición. El último álgebra es sólo el espacio global de las secciones del haz de $\oplus_{i \leq k} Sym^i (T \mathbb{R}^n)$, lo que me lleva a mi segunda pregunta:
Puede un operador diferencial de orden $\leq k$ M considerarse como un sección global de algún paquete de "operadores diferenciales"?
Por la costumbre de la correspondencia, que implicaría que los operadores diferenciales de orden $\leq k$ formulario localmente trivial gavilla de $C^{\infty}(M)$ módulos.
Misha dice que este es precisamente el caso en el último de los problemas de su conjunto de problemas, pero no puedo hacer una rigurosa prueba de ello y estoy pidiendo una referencia donde este enfoque se presenta en detalle.
También estoy desconcertado por el hecho de que generalmente no se menciona en la mayoría de las referencias que yo he mirado que los operadores diferenciales puede ser pensado como secciones de algunos bundle, que parece ser muy fundamental de un diferencial de la perspectiva geométrica. Por otra parte, este enfoque puede ser desarrollado en un elegante tratamiento del símbolo.
