La prueba de que $x^y + y^x > 1 \ \forall x,y > 0 $

Question

El problema es trivial si al menos uno de $x$ o $y$ es mayor que $1$. Todo lo que necesitamos es la prueba de que $x^y+y^x > 1 \ \forall x,y \in (0,1)$.

Answer 1

Por Bernoulli $$\frac{1}{x^y}=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}.$$ Por lo tanto, $$x^y\geq\frac{x}{x+y-xy}>\frac{x}{x+y}$$ y hemos terminado.