Primera relación: ¿hay alguna apreciación de cómo los Teoremas de Incompletitud se podría aplicar a la física?
Para poner esto en perspectiva, la imagen de Newton dijo: "Oh, se parece a mi $F = m a$ es casi una teoría del todo. Así que ahora yo podía saber todo acerca de la naturaleza, si sólo se garantiza que cada suficientemente fuerte coherente sistema formal está completa".
Y, a continuación, después de Lagrange: "Oh, se parece a mi $\delta L = 0$ es casi una teoría del todo. Así que ahora yo podía saber todo acerca de la naturaleza, si sólo se garantiza que cada suficientemente fuerte coherente sistema formal está completa".
Y, a continuación, después de Schrödinger: "Oh, se parece a mi $i \hbar \partial_t \psi = H \psi$ es casi una teoría del todo. Así que ahora yo podía saber todo acerca de la naturaleza, si sólo se garantiza que cada suficientemente fuerte coherente sistema formal está completa".
Y así sucesivamente.
El punto es, que lo que impidió que los físicos de hace 300 años, hace 200 años, hace 100 años a partir de, en principio, sabiendo todo acerca de la física nunca fue cualquier teorema de la incompletitud, pero siempre fueron dos cosas:
ellos en realidad no tienen una teoría fundamental todavía;
ni siquiera tuvieron la matemáticas pero a formular lo que más tarde se entiende que es la más fundamental de la teoría.
Gödel del teorema de la incompletitud es, como "$E = m c^2$" en la cultura pop: a la gente le gusta aludir a él con un vago sentimiento de profunda importancia, sin saber realmente lo que el impacto es. Gödel incompletenss es una declaración acerca de la relación entre metalenguaje y el "objeto" de lenguaje (metalenguaje que permite a uno saber que una declaración "es cierto", después de todo, aunque si no puede ser probada en el objeto idioma!). Para apreciar esta distinción uno tiene que ahondar un poco más en la lógica formal que me suelen ver a las personas hacer que se preguntan acerca de su pertinencia a la física.
Y por encima de la historia sugiere: en cualquier caso, es prematuro preocuparse de los detalles finos de la lógica formal mientras que el candidato de la formalización de la física que en realidad tenemos es claramente insuficiente, y en particular tanto como parece plausible que en 100 años ahora, la forma fundamental de la física se expresan en nuevas matemáticas en comparación con la que se presentan las herramientas de la física matemática aspecto tan anticuado como los de los 100 años de hacer a nosotros ahora. Sólo tiene que abrir un teórico de la física de libros de texto desde la vuelta del 19 al siglo 20 para ver que con nuestros conocimientos acerca de la física habría sido ridículo para la gente a preocuparse por el estado incompleto. Tenían que preocuparse por el aprendizaje de álgebra lineal y geometría diferencial.
Y esto nos lleva directamente a
segundo: Tiene ningún progreso ha hecho en Hilbert, la 6ª problema para el siglo 20?
Recientemente había estado dando algunas charlas que se inició con la consideración de esta cuestión, véanse los enlaces en mi sitio en el Sintético de la teoría cuántica de campos.
Una respuesta es que ha habido un progreso considerable (véase la tabla a la derecha en el comienzo de las diapositivas o también en esta charla se nota). Muchos de los aspectos básicos de la física moderna tiene un muy limpio formulación matemática. Por ejemplo teoría de gauge es firmely capturado por la diferencia de cohomology y Chern-Weil teoría, local TQFT por mayor categoría monoidal teoría, y así sucesivamente.
Pero dos cosas son notables: en primer lugar, la matemática de la que se formaliza aspectos de la moderna física fundamental consiste en las joyas de la corona de la matemática moderna, algo tan profundo que podría estar pasando, pero, en segundo lugar, estas ideas siguen siendo fragmentarias. Hay un campo de las matemáticas aquí, otro allí. Uno podría tener la idea de que de alguna manera todo esto quiere poner juntos en una coherente formal de la historia, sólo que tal vez la clase de matemáticas utilizados en estos días no es suficiente para hacerlo.
Este es un punto de vista que, más o menos implícitamente, ha impulsado el trabajo de vida de William Lawvere. Él es famoso entre los matemáticos puros como el fundador de la lógica categórica, de topos de la teoría de la lógica formal, estructural de los fundamentos de las matemáticas. Lo que es por alguna extraña razón, casi desconocido, sin embargo, es que todo este trabajo suyo ha sido inspirado por el deseo de producir un trabajo formal bases para la física. (Ver en el nLab en William Lawvere -- Motivación de los fundamentos de la física).
Creo que cualquiera que esté genuinamente interesado en el formal fundamentos matemáticos de la phyiscs y preguntas en cuanto a si una fundamental formalización es posible y, lo que es más importante, si puede ser útil, debe tratar de aprender acerca de lo que Lawvere tiene que decir.
Por supuesto, la lectura de Lawvere no es fácil. (Al igual que la lectura de un moderno conferencia sobre QFT no iba a ser fácil para un físico formulario del siglo 19 había sido catapultado a nuestra edad...) eso es lo Que pasa cuando usted cava profundamente en los cimientos, si usted está realmente avanzando, entonces usted no será capaz de volver y explicar en cinco minutos en el Dicovery Channel.
(Como en Feynman: Si yo podría decir que en cinco minutos lo que la experiencia del Nobel, luego de que no la tengas).
Usted podría empezar con la nota en la nLab: "Más toposes de las leyes de movimiento" para tener una idea de lo que Lawverian fundamentos de la física.
Un poco más tarde este mes voy a dar varias charlas sobre este tema de formalmente la fundación de la física moderna (local de Lagrange calibre de la teoría cuántica de campos) en fundamental de las matemáticas en una forma útil. El notas este se titula Homotopy de tipo semántica para la cuantización.
