La definición de una función definida a tramos el uso restringido de las operaciones de

Question

Pregunta

Puede la función a trozos

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\ 1 & \text{if %#%#%} \\ 0 & \text{if %#%#%} \\ \end{casos}$$

se define utilizando sólo las operaciones $x > 0$?

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Lo que he intentado

Podemos definir el primer y el último piezas: $x = 0$ si $x < 0$ o $+ , -, *, /, abs, \max, and \min$ con

$0$$

Pero esto se producirá con una división por $x > 0$ en el caso de que $x < 0$

$$1 - \frac{x}{x}$$

Yo puedo arreglar el error de división por forzar un 1 en la parte inferior.

$0$$

Esto funciona para la mayoría de los negativos y las $x = 0$ y no al$$1 - \frac{0}{0}$$$a(x) = 1 - \frac{x}{\max(1, x) \min(-1, x)}$. Cuando $0$, $-1 < x < 0$. La fijación de este se requiere de otro max para comprobar si un número es positivo. La definición de $x > 0$ $x > 0$ al $a(x) = 2$ $b(x)$ al $2$ o $x > 0$

$0$$

La combinación de ellos para obtener

$x = 0$$

Este desorden es lo que quiero, excepto cuando se $x <= -1$$$b(x) = 2\frac{\max(0, x)}{\max(1, x) \min(-1, x)}$. Esto es lo más lejos que he conseguido.

Answer 1

Vamos a hacer el algebra de funciones, mediante la definición de funciones de $f$ y $g$, $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$, y así sucesivamente con los otros operadores.

Tenga en cuenta que $f$ no es una función continua. Sin embargo, $+$, $-$, $\times$, $|\dots|$, $\max$ y $\min$ todos los produce función continua si usted les proporciona función continua. Ya que todo lo que la base de funciones, $x \mapsto x$ y la constante de funciones $x \mapsto c$, son continuas en a $\mathbb R$, usted no será capaz de crear un no-continua con la función de finitely muchos operadores.

Eso deja sólo la división de $\frac{\dots}{\dots}$, la cual es continua en a $\mathbb R \setminus \{ 0 \}$. Sin embargo es indefinido en $0$, lo que significa que cualquiera podría quedar con valores no definidos, que no se puede desde $f$ es definido en todas partes, o su denominador se garantiza para todos los positivos (o negativos) y la división se opera sólo en un completamente componente continua, y su resultado será de nuevo continua.

En $\mathbb R$, su problema no puede ser resuelto con un número finito de operaciones de $+$, $-$, $\times$, $\frac{\dots}{\dots}$, $|\dots|$, $\max$ y $\min$.

Answer 2

Siguiente Lærne la respuesta, me gustaría elucubrate sobre cómo el problema coould ser resuelto con una infinidad de operaciones.

Vamos a definir a continuación $$ g(x) = \max (0, - \vert x \vert +1)$$ Esta es una "tienda" de la función, que es igual a $0$ si $\vert x \vert > 1$, y es igual a $1$$x = 0$, siendo continuo y lineal a trozos.

Una aproximación a la función de $f$ indicado por el OP puede ser construido para cualquier grado de precisión como $$f(x) \approx g(x)^n $$ (intuitivamente hablando, donde $f(x) = 0$ o $f(x) = 1$ no pasa nada en multypling, mientras que para los $x : 1 < g(x) < 1 , \,\,\, g(x)^k < g(x)^j $ al $ k > j$)

Compañeros Mathstackexchangers más versado en la convergencia tal vez podría formalizar la operación limitante. Creo $g^n \to f$ pointwise como $n \to \infty$.

Answer 3

Nota: La solución a continuación es verdadera sólo para valores enteros de a $x$, es decir, $x \in \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$

Vamos \begin{equation} f(x) = 1 - \dfrac{\max [\text{abs }\{ \max(0, x)\}, \text{abs }\{ \min(0, x)\}]}{\max [1, \text{abs}(x)]} \end{equation}

• Caso I: Cuando $x < 0$ \begin{align} f(x) & = 1 - \dfrac{\max [\text{abs }\{ \max(0, x)\}, \text{abs }\{ \min(0, x)\}]}{\max [1, \text{abs}(x)]} \\ & = 1 - \dfrac{\max [0, \text{abs}(x)\}]}{\text{abs(x)}} = 1 - \dfrac{\text{abs}(x)}{\text{abs}(x)} = 1- 1 = 0 \end{align}
• Caso II: Cuando $x = 0$ \begin{align} f(x) & = 1 - \dfrac{\max [\text{abs }\{ \max(0, x)\}, \text{abs }\{ \min(0, x)\}]}{\max [1, \text{abs}(x)]} \\ & = 1 - \dfrac{\max [0, 0\}]}{1} = 1 - \dfrac{0}{\text{abs}(x)} = 1- 0 = 1 \end{align}
• Caso III: Al $x > 0$ \begin{align} f(x) & = 1 - \dfrac{\max [\text{abs }\{ \max(0, x)\}, \text{abs }\{ \min(0, x)\}]}{\max [1, \text{abs}(x)]} \\ & = 1 - \dfrac{\max [x, 0]}{x} = 1 - \dfrac{x}{x} = 1- 1 = 0 \end{align}

Edit: Una forma simple puede ser \begin{equation} f(x) = 1 - \dfrac{\max[0, \text{abs}(x)]}{\max[1, \text{abs}(x)]} \end{equation}

Answer 4

Supongamos $\epsilon \rightarrow 0^+$, los trozos de la función puede ser definida como \begin{equation} f(x) = 1 - \dfrac{\max[0, \text{abs}(x)]}{\max[\epsilon, \text{abs}(x)]} \end{equation}

Answer 5

Se preguntó cómo definir su función con un número infinito de operaciones de tu lista. Aquí se define por medio de una infinita suma:

$$ f(x) = \max(0,1-|x|) + \frac12\sum_{n=1}^\infty (\min(1,|2^n x+1|) + \min(1,|2^n x-1|) - 2). $$

La primera parte de esta, $\max(0,1-|x|),$ es cero excepto para $-1<x<1,$ donde su gráfica es una isoceles triángulo cuyos vértices son $(-1,0),$ $(1,0),$ y $(0,1)$. Cada uno de los términos de la suma es cero excepto para $-\frac{2}{2^n}<x<\frac{2}{2^n},$ donde su gráfica consta de dos isoceles triángulos con vértices en $\left(-\frac{2}{2^n},0\right),$ $(0,0),$ y $\left(-\frac{1}{2^n},-1\right)$ (primer triángulo) y en $(0,0),$ $\left(\frac{2}{2^n},0\right),$ y $\left(\frac{1}{2^n},-1\right)$ (segundo triángulo). La función $$ f_m(x) = \max(0,1-|x|) + \frac12\sum_{n=1}^m (\min(1,|2^n x+1|) + \min(1,|2^n x-1|) - 2) $$ definido por tomar sólo una suma parcial es cero en todas partes, excepto para $-\frac{1}{2^m}<x<\frac{1}{2^m},$ donde su gráfica es una isoceles triángulo con vértices $\left(-\frac{1}{2^n},0\right),$ $\left(\frac{1}{2^n},0\right),$ y $(0,1).$ Así que para cualquier $x\neq 0,$ $f_m(x) = 0$ siempre que $m$ es lo suficientemente grande, mientras que $f_m(0) = 1$ todos los $m.$