Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac para el electrón en movimiento

Question

Intento comprender una interpretación física de las cuatro componentes del 4-espinor de Dirac para un electrón en movimiento (en el caso más simple, una onda plana). Hay un problema muy buena pregunta y respuesta sobre las interpretaciones ya en SE. Básicamente se demuestra que ir al marco de reposo del electrón (es decir $p^\mu=(E,0,0,0)$ ), se encuentran las cuatro soluciones diferentes:

$$\psi_1=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_2=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_3=N_3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)e^{iEt}\text{ and } \psi_4=N_4\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)e^{iEt},$$

Donde el $\psi_1$ y $\psi_3$ tienen un resultado positivo helicidad (proyección del giro en la dirección del impulso) mientras que $\psi_2$ y $\psi_4$ tienen helicidad negativa.

Además, el factor de fase $e^{\pm i E t}$ muestra si el estado tiene energía positiva o negativa, es decir, si es una partícula o antipartícula.

Para los electrones en movimiento (en el Representación de Dirac ), las soluciones reciben contribuciones adicionales. Por ejemplo $$ \psi_{move}(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ Tiene una tercera y cuarta componente no evanescente. Aquí Dominique escribe:

Cuando el momento NO es igual a cero estos diferentes estados se mezclan y no se puede hacer una identificación tan simple. Normalmente se dice que el electrón se convierte en una mezcla de electrón con positrones cuando empieza a moverse.

Sin embargo, el factor de fase dependiente del tiempo $e^{-i p_{\mu} x^{\mu}}$ sigue correspondiendo a una energía positiva para los cuatro componentes, por lo que no puede interpretarse como

$$ \psi_{move}(x)\neq N \left(N_1 \psi_1 + \frac{p_z}{E+m} \psi_3 + \frac{p_x+ip_y}{E+m} \psi_4 \right) $$

(Un argumento similar se da en estos notas de clase : El hecho de que las dos últimas componentes sean distintas de cero no significa que contenga soluciones de "energía negativa". )

Por lo tanto, mi pregunta es:

Para un electrón en movimiento con helicidad $+\frac{1}{2}$ (es decir $\psi_{move}(x)$ ), ¿cuál es la interpretación de las componentes 3ª y 4ª no evanescentes (en la representación de Dirac)?

Esta cuestión adquiere mayor relevancia física cuando se considera que no hay una onda plana. Entonces la 3ª y 4ª componente podrían tener una distribución de intensidad diferente a la de la 1ª componente.

Me interesan tanto las explicaciones como la bibliografía que cubre esta cuestión.

Answer 1

Para comprobar la proyección del giro en el $i$ -para el tercer y cuarto componente, sólo hay que calcular la cantidad $$ \Sigma_{i}\psi, \quad \Sigma_{i} = \text{diag}(\sigma_{i}, \sigma_{i}) $$ con (para simplificar) $\psi = (0,0,1,0)$ y $\psi = (0,0,0,1)$ de la misma manera.

Para comprobar la helicidad de estos componentes, basta con calcular la cantidad $$ \frac{(\Sigma \cdot \mathbf p)}{|\mathbf p|}\psi $$ de nuevo para $\psi = (0,0,1,0)$ y $\psi = (0,0,0,1)$ .

...Por tanto, hay dos soluciones SU(2) independientes $\phi_{R}$ y $\phi_{L}$ (que están conectados a los espinores de Weyl). $\phi_{R}$ tiene helicidad positiva y $\phi_{L}$ tiene helicidad negativa...

Esta frase contiene dos afirmaciones incorrectas, relacionadas entre sí.

En primer lugar, en realidad las representaciones irreducibles "elementales" $\phi_{L/R}$ se definen como los estados propios de la matriz de quiralidad $\gamma_{5}$ . Este último define la forma en que los espinores se transforman en lorentz, y no tiene nada que ver con la helicidad mientras la masa $m$ no es cero. En el límite de masa cero la helicidad y la quiralidad coinciden formalmente.

Segundo, $\phi_{L/R}$ no son espinores de Weyl. El espinor de Weyl es el que satisface una de las ecuaciones $$ \sigma_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \quad \tilde{\sigma}_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \ \ \text{where }\ \ \sigma_{\mu} = (1,\sigma), \ \tilde{\sigma}_{\mu} = (1,-\sigma) $$ Se define para describir partículas sin masa con helicidad definida, y no tiene nada que ver con los espinores $\psi_{L/R}$ dentro del espinor de Dirac siempre que $m\neq 0$ .

Answer 2

Considere la Representación de Dirac de las matrices gamma, ahí tenemos $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}$$ y las soluciones correspondientes a las partículas y antipartículas estáticas $p_\mu = (\pm m,0,0,0)$ son $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ donde $\alpha, \beta, \epsilon, \delta$ son algunas constantes. Por supuesto, estos estados propios siguen correspondiendo a dos estados posibles para cada partícula/antipartícula y físicamente esto corresponde a la posibilidad de que la partícula tenga dos signos de espín intrínseco.

Pero primero veamos qué ocurre si elegimos otra representación. En el representación quiral tenemos $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}$$ Cuando calculamos los estados estacionarios de la partícula/antipartícula, obtenemos ahora $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ -\alpha \\ -\beta \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} \epsilon \\ \delta \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ donde $\alpha,\beta,\epsilon,\delta$ son de nuevo algunas constantes. Así que ves que aunque los componentes "superior" e "inferior" en la representación de Dirac corresponden a las partículas frente a las antipartículas, la imagen es bastante diferente en la representación quiral de las matrices gamma.

Hay una cantidad infinita de representaciones posibles de las matrices gamma relacionadas por transformaciones unitarias y todo lo que discutamos sobre los componentes espinoriales dependerá de la representación elegida.

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Para completar el argumento, ordenemos los estados propios de energía en la representación de Dirac según su proyección de espín en un eje determinado. El operador de espín intrínseco viene dado por $\Sigma^i = i \gamma^0 \gamma^i \gamma^5$ en cualquier representación. En la representación de Dirac (así como en las otras dos grandes representaciones quirales y de Majorana), el operador de espín termina como $$\Sigma_i = \begin{pmatrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \end{pmatrix}$$ Elegimos ordenar nuestros estados según su componente z, porque lo más conveniente es que tengamos $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Entonces vemos fácilmente que la componente superior de cada estado propio de energía en la representación de Dirac tiene proyección positiva de espín en el eje z, mientras que la componente inferior corresponde a una partícula con proyección negativa de espín en z. Pero repetiré una vez más que en la representación quiral o en cualquier otra representación interpretaríamos las componentes de forma muy diferente.

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En cuanto a la réponse que usted cita, allí se obtienen las soluciones para las partículas en movimiento escogiendo estas estacionarias $\pm 1/2$ estados de espín y potenciarlos mediante una transformación de Lorentz en soluciones móviles.

En otras palabras, la interpretación de las soluciones $$ \psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) \,,\; \psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)\,,\; \psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu) $$ es que corresponden a partículas/antipartículas que, en su marco de descanso , tienen una proyección negativa/positiva del giro en el eje z.

Esta es una construcción común para las bases de las soluciones generales de la ecuación de Dirac, en otros casos se suele optar por ordenar las soluciones según su quiralidad.

Answer 3

La ecuación de Dirac se resuelve utilizando el álgebra de Clifford, en particular las matrices gamma. Hay 16 matrices gamma de 4x4 que forman la base necesaria. Se puede elegir qué base utilizar (principalmente dependiendo del problema de física que se resuelva) y es posible transformar entre bases.

En la base de Weyl (representación quiral de la ecuación de Dirac) la matriz gamma conocida convencionalmente como $\gamma^5$ es diagonal $\gamma^5 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$ . Cuando se aplica al espinor de 4 componentes de Dirac, en cualquier base lo descompondrá en dos partes la mano izquierda y la mano derecha. En la base de Weyl, al ser diagonal, no se mezclan las dos partes del espinor, por lo que podemos decir que las dos componentes superiores del espinor de Dirac representan el campo de la mano izquierda y las dos inferiores el de la derecha, es decir

$\gamma^5\begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_R \\ -\psi_L \end{pmatrix}$

En la base de Dirac, utilizada en tu pregunta, $\gamma^0$ es diagonal (y $\gamma^5$ no es diagonal).

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

$\gamma^0$ es el operador de paridad (en todas las bases). Así que el espinor de Dirac se divide en dos partes en la base de Dirac, una con paridad par y otra con paridad impar.

Así que para responder a la pregunta, los componentes 3 y 4 de $\psi_{move}$ representan la parte del espinor con paridad impar en esta solución.

En su pregunta insinúa que tal vez un electrón en movimiento contenga una combinación de estados energéticos positivos y negativos. Esto no es así. En las preguntas y respuestas sobre zitterbewegung se discute esto especialmente cuando se construyen paquetes de ondas a partir de estados.