Necesito localizar el punto óptimo(s) de la función $$f(x,y) = \frac{1}{xy} + x^2y$$ subject to the conditions $x \gt 0, y \gt 0$.
He probado el siguiente enfoque $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-1}{x^2y} + 2xy = 0 \rightarrow 1$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-1}{xy^2} + x^2 = 0 \rightarrow 2$$ Ahora, $x \ne 0, y \ne 0,$ por lo tanto, podemos resolver las dos ecuaciones para obtener el punto óptimo, $(x^*, y^*)$. Pero el anterior sistema de ecuaciones no tiene solución.
Físicamente, al $x \rightarrow 0$ o $y \rightarrow 0$, la función de golpes. Además, cuando cualquiera de las $x \rightarrow \infty$ o $y \rightarrow \infty$, la función también de los golpes. Ya que se necesita finito de valores en el medio y es continua y diferenciable, él debe tener algún valor mínimo(s), y por lo tanto en un punto óptimo.
A donde voy mal ?
SOLUCIONADO
Gracias a Arturo, me he dado cuenta que el error en las declaraciones anteriores. He supuesto que siempre que x o y se hace más grande, la función va a explotar. Pero si yo fuera a ir a lo largo de la ruta de $y = \sqrt{\frac{1}{x^3}}$, y tome $x$ más pequeño y más pequeño, $f = 2\sqrt x$ va a ir a 0. Por lo tanto, el infimum es $0$
