alguna cuestión de $\mathcal{O}_X$ -Módulo

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean esquemas y que $F$ sea una gavilla en $Y$ . Sea $f: X \rightarrow Y$ sea un morfismo de esquemas. Definir la imagen inversa de $F$ , $$f^*F:= f^{-1}F\otimes_{f^{-1}\mathcal{O}Y}\mathcal{O}_X$$

Para un subconjunto abierto $U\subseteq X$ , $f$ sea la inclusión $U\hookrightarrow X$ y $F$ sea una gavilla en $X$ . Entonces, ¿es cierto que $f^*F=F|_{U}$ ?

Answer 1

Lo es, ya que en este caso el mapa estructural $f^{-1} \mathcal{O} _{X} \rightarrow \mathcal{O} _{U}$ es un isomorfismo, porque los funtores $f^{-1}(-)$ y $(-) |_{U}$ coinciden (esencialmente por definición) y $\mathcal{O} _{U} = \mathcal{O} _{X} |_{U}$ . Así que realmente tienes

$f^{*} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{F} \otimes _{f^{-1} \mathcal{O} _{X}} \mathcal{O} _{U} \simeq f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F} |_{U}$

Answer 2

La pregunta no tiene ningún sentido por dos razones: La definición de $f^* F$ como producto tensorial sólo tiene sentido cuando $F$ es una gavilla de módulos sobre $Y$ no sólo una gavilla. Y $f^* F|_U$ no tiene mucho sentido. Tal vez quiera decir $f^* F$ y quieres demostrar que $f^* F \cong F|_U$ ? Por supuesto que no es importante que $X,Y$ son esquemas, todo esto funciona para espacios anillados arbitrarios.

La propiedad más importante de $f^*$ (y de hecho, desde un punto de vista más abstracto, este es el definición ) es que es adjunto a la izquierda de $f_*$ (tanto para categorías de gavillas, como para categorías de gavillas de módulos). Si $f$ es la inclusión de un subespacio abierto $U \hookrightarrow X$ entonces se puede verificar directamente que $(-)|_U$ es adjunto a la izquierda de $f_*$ ya que existe una biyección canónica $\hom(F|_U,G) \cong \hom(F,f_* G)$ dado por $\alpha \mapsto (V \mapsto \alpha(V \cap U))$ . De ello se desprende que $f^* \cong (-)|_U$ .

La construcción explícita de $f^*$ no es realmente importante, siempre se puede derivar cualquier cosa de su propiedad universal.