en las ecuaciones integrales

Question

Considere la ecuación $$\int_{0}^{\infty}\sin(\omega\tau)f(\tau)d\tau =\omega\int_{0}^{\infty}\cos(\omega\tau)f(\tau)d\tau\;,$$ donde $\omega >0$ $f$ es una función de densidad de probabilidad. Me gustaría saber si esta ecuación siempre tiene soluciones $\omega$.

Answer 1

Seguir a @GiuseppeNegro la sugerencia, si $f$ es el PDF de la distribución exponencial con parámetro de $a$, una pregunta para soluciones de $\omega$ de la ecuación $$\int_0^\infty\sin(\omega\tau)(a-1)\mathrm e^{- \tau}\mathrm d\tau=0.$$ Escribir esto como la parte imaginaria de la integral de $\tau\mapsto(a-1)\exp((\mathrm i \omega-a)\tau)$, uno tiene la condición de $$\Im\left(\frac {- 1} {- \mathrm i \omega}\right)=0=\frac{(a-1)\omega}{a^2+\omega^2},$$ que, si $a\ne1$, no tiene solución,$\omega\ne0$.