Prueba geométrica de la geodesics de una esfera?

Question

He visto el estándar variacional prueba de que los grandes círculos son la geodesics en el $2$-esfera. ¿Sabes puramente geométrica prueba de este hecho, que no impliquen el cálculo de variaciones o geometría diferencial?

Parece que podría ser posible para proporcionar un más elemental de la prueba. Si usted no está de acuerdo, por favor explique por qué.

Answer 1

Supongamos que la existencia de la geodésica es trivial; sin embargo, asumir que es obvio que una geodésica no puede tener esquinas.

Si estás de acuerdo, dibujar un gran círculo en el $\Gamma$ a través de dos puntos de la línea geodésica $\gamma$. Si $\gamma\not\subset\Gamma$, reflejar la parte de $\gamma$ que se encuentra en un lado de la $\Gamma$. Usted consigue un nuevo geodésica, decir $\gamma'$, y tiene las esquinas, una contradicción.