Demostrar que $\displaystyle\prod_{q\in \mathbb{Q}^{\times}}|q|=1$

Question

Demostrar que $\displaystyle\prod_{q\in \mathbb{Q}^{\times}}|q|=1$ .

No tengo mucha experiencia trabajando con productos infinitos, pero he leído un par de teoremas que dicen que la convergencia absoluta de productos infinitos requiere que $\prod1+|a_n|$ converge, y que $\prod1+|a_n|$ converge si $\sum a_n$ converge.

Ahora $\sum_{q\in \mathbb{Q}^{\times}}|q|$ ciertamente lo hace no convergen, lo que implica que mi producto original no es absolutamente convergente. Lo que me deja con el problema de no poder reordenar sus términos. Pero como nunca se me dio una enumeración de mis racionales para empezar, estoy un poco desconcertado en cuanto a cómo debo proceder.

Aquí está el enlace al problema: deberes 2 (problema 2). No estoy en la clase, sólo haciendo los deberes. Lo estoy haciendo para el $\mid \cdot \mid_{\infty}$ valor absoluto. Que se supone que es el valor absoluto normal (según la tarea 1).

Answer 1

Has planteado mal el problema. Para todos los $x\in\mathbb{Q}^\times$ , $$\prod_{p\text{ prime or }\infty}|x|_p$$ es un producto infinito en el que todos los términos, excepto los finitos, son 1, por lo que ciertamente converge.

Una pista: Tenga en cuenta que, si $x=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}$ donde el $p_i$ son primos y $a_i\in\mathbb{Z}$ entonces $$|x|_{p_i}=\frac{1}{p_i^{a_i}}$$ y que $|x|_p=1$ para todos los demás primos.

Answer 2

Parece que el problema es que estás interpretando mal el problema. No quieres demostrar que el producto sobre todos los elementos de $\mathbb{Q}$ es $1$ se quiere demostrar que cuando se toma un elemento dado $x\in\mathbb{Q}^{\times}$ y multiplicar su valor absoluto por todos los valores absolutos posibles en $\mathbb{Q}$ , se obtiene $1$ . Para obtener una pista, mire la respuesta de Zev (considerando la factorización prima de $x$ ).