Ayudar a comprender los subesquemas cerrados y las inmersiones cerradas

Question

Los subesquemas cerrados y las inmersiones cerradas de los esquemas me han causado mucha confusión desde hace tiempo. Tengo algunas preguntas que creo que podrían aclarar las cosas. Por favor, asuma que cuando uso el término "anillo" me refiero a "anillo conmutativo con identidad" cuyos morfismos toman $0 \mapsto 0$ y $1 \mapsto 1$ . Siento la pregunta tan larga, pero creo que es necesario explicar las definiciones con las que trabajo en lugar de esperar que la gente las persiga.

Mi primera exposición a esto fue la página 85 de Hartshorne. Allí hace las siguientes definiciones:

A inmersión cerrada es un morfismo de esquemas $ \iota : Y \longrightarrow X$ de tal manera que $ \iota $ induce un homeomorfismo de la sp $(Y)$ en un subconjunto cerrado de sp $(X)$ y además que el mapa inducido de las gavillas, $ \iota ^{\#}: \mathcal {O}_{X} \longrightarrow \iota_ {*} \mathcal {O}_{Y}$ es surjectiva.

A subesquema cerrado es una clase de equivalencia de inmersiones cerradas, donde decimos que $ \iota : Y \longrightarrow X$ y $ \iota ': Y' \longrightarrow X$ son equivalentes si hay un isomorfismo $ \psi : Y' \longrightarrow Y$ satisfactoria $ \iota ' = \iota \circ \psi $ .

Después de tener un poco de confusión con la parte del subesquema cerrado, consulté a Görtz & Wedhorn donde, en la página 84 (Definición 3.41) dan sus propias definiciones. Su definición para una inmersión cerrada es idéntica, sin embargo su definición para un subesquema cerrado es la siguiente:

A subesquema cerrado de un esquema $X$ está dada por un subconjunto cerrado $Y \subseteq X$ (deja que $ \iota : Y \hookrightarrow X$ ser la inclusión) y una gavilla $ \mathcal {O}_{Y}$ en $Y$ de tal manera que $(Y, \mathcal {O}_{Y})$ es un esquema, y tal que la gavilla $ \iota _{*} \mathcal {O}_{Y}$ es isomorfo a $ \mathcal {O}_{X}/ \mathcal {I}$ para $ \mathcal {I}$ un subconjunto de ideales de $ \mathcal {O}_{X}$ .

Con eso en su lugar, mi pregunta es básicamente triple:

1) Aparte del sugerente nombre, Hartshorne no parece sugerir (al menos no para mí) que un subesquema cerrado sea en realidad un esquema. De hecho, ¿cómo se puede siquiera dar sentido a poner una estructura de esquema en una clase de equivalencia de morfismos?

2) Görtz & Wedhorn parecen superar esto simplemente definiéndolo como un esquema. ¿Cómo son equivalentes sus definiciones (si lo son)? Un gran problema que tengo al ver esta equivalencia es relacionar la surjetividad de $ \iota ^{\#}$ y $ \iota ^{'\#}$ a la gavilla de ideales en Görtz & Wedhorn. La cuestión es que, como la categoría de los anillos no es abeliana (de hecho, ni siquiera aditiva hasta donde yo sé), no puedo esperar tener núcleos y cokernels, y por lo tanto no puedo esperar ser capaz de tomar $ \mathcal {I}$ para ser el núcleo de los morfismos surjetivos como podría si fueran gavillas de grupos abelianos.

3) Traté de jugar con el caso afín en la definición de Hartshorne para darle sentido a las cosas. Deja que $A$ ser un anillo con ideales $ \mathfrak {a}$ y $ \mathfrak {b}$ . Estos dan morfismos de los esquemas Spec $(A / \mathfrak {a}) \longrightarrow $ Spec $A$ y Spec $(A / \mathfrak {b}) \longrightarrow $ Spec $A$ que inducen homemorfismos en los conjuntos cerrados de manera obvia. Mi intuición sugiere que estos deberían ser "equivalentes" (a los efectos de definir un subesquema cerrado) precisamente si $ \mathfrak {a}$ y $ \mathfrak {b}$ tienen el mismo radical, desde entonces $V( \mathfrak {a})$ y $V( \mathfrak {b})$ sería lo mismo. De hecho, el radical es sólo la intersección de todos los primos que los contienen. Sin embargo, según la definición de Hartshorne, eso requeriría que el isomorfismo $i$ ser inducido por un isomorfismo de anillos $A / \mathfrak {a} \simeq A/ \mathfrak {b}$ siempre que $ \mathfrak {a}$ y $ \mathfrak {b}$ tienen el mismo nilradical, lo que obviamente es una tontería.

Lo largo de lo corto es que estoy perplejo e increíblemente confundido. Cualquier consejo, o referencia, o respuesta (parcial o completa) a todas o cualquiera de estas preguntas sería muy apreciada.

Pregunta extra: ¿Hay alguna manera de arreglar mi confusión $ \textit {without}$ recurriendo a gavillas casi coherentes?

Answer 1

Abordaré tus preguntas una por una, refiriéndome a la anotación en mi edición de tu pregunta.

(1) En la definición de Hartshorne de un subesquema cerrado, $Y$ es lo que realmente es un esquema. Corresponde directamente a Gortz & Wedhorn $Y$ .

Hartshorne's $\iota$ es el mapa de inclusión de $Y$ en $X$ . Esto se corresponde con la propuesta de Gortz & Wedhorn $\iota$ .

La razón por la que Hartshorne habla de clases de equivalencia es que necesitamos alguna forma de determinar si dos subesquemas cerrados de $X$ son esencialmente los mismos. Por ejemplo, supongamos que $$X = {\rm Spec \ } k[X,Y], \ \ \ \ Y = {\rm Spec \ } k[U], \ \ \ \ Y' = {\rm Spec \ } k[T]$$ y supongamos que los morfismos de inclusión $$ \iota : Y \to X, \ \ \ \ \ \iota ' : Y' \to X$$ se definen como los morfismos del esquema asociados a los morfismos del anillo $$ k[X,Y] \to k[U], \ \ \ \ \ X \mapsto U, \ \ \ \ \ Y \mapsto 0, $$ y $$ k[X,Y] \to k[T], \ \ \ \ \ X \mapsto T, \ \ \ \ \ Y \mapsto 0, $$ respectivamente.

A todos los efectos, $Y$ incrustado por $\iota$ es lo mismo que $Y'$ incrustado por $\iota '$ . No hay diferencia entre $Y$ y $Y'$ aparte de mi elección de la notación. Por lo tanto, debemos considerarlos equivalentes. En efecto, existe un isomorfismo $\psi : Y' \to Y$ tal que $\psi \circ \iota = \iota '$ : esto $\psi$ es el morfismo de esquemas asociado al morfismo de anillos que envía $U \mapsto T$ . Así que $Y$ y $Y'$ con sus respectivos mapas de inclusión se consideran equivalentes según la definición de Hartshorne.

Las estructuras del esquema están bien definidas en las clases de equivalencia porque si $\iota : Y \to X$ y $\iota ' : Y ' \to X$ son dos subesquemas cerrados equivalentes con sus respectivas inmersiones, entonces $Y$ y $Y'$ son isomorfos como esquemas (a través de $\psi$ ) por definición, y por lo tanto, tienen las mismas estructuras de esquema.

(2) Supongamos que el esquema $Y$ junto con la incrustación $\iota : Y \to X$ es un subesquema cerrado según la definición de Hartshorne. ¿Cómo podemos ver que la gavilla cuasi-coherente $\iota_\star \mathcal O_Y$ es de la forma $\mathcal O_X / \mathcal I$ para alguna gavilla cuasi-coherente $\mathcal I$ que es una gavilla de ideales de $\mathcal O_X$ ? Nos gustaría hacerlo para que coincida con la definición de Gortz y Wedhorn.

Pues bien, tenemos un morfismo suryente de gavillas: $$ \mathcal O_X \twoheadrightarrow \iota_\star \mathcal O_Y$$ (Este morfismo de láminas es el $\iota^{\#}$ en la definición de Hartshorne).

Dado que la categoría de láminas cuasi-coherentes sobre $X$ es una categoría abeliana, existe una gavilla cuasi-coherente $\mathcal I$ que actúa como el núcleo para el morfismo de gavilla anterior, dando una secuencia exacta corta: $$ 0 \to \mathcal I \hookrightarrow \mathcal O_X \twoheadrightarrow \iota_\star \mathcal O_Y \to 0$$ Pero entonces, $\mathcal I $ es un sub- $\mathcal O_X$ -módulo de $\mathcal O_X$ que es lo mismo que decir que $\mathcal I$ es una gavilla de ideales de $\mathcal O_X$ y además, $\iota_\star \mathcal O_Y \cong \mathcal O_X / \mathcal I$ como gavillas, por lo que hemos construido todo lo que se requiere en la definición de Gortz & Wedhorn.

Obsérvese que estamos trabajando en la categoría de gavillas cuasi-coherentes sobre $X$ y no en la categoría de anillos. Tu comentario sobre que la categoría de anillos no es una categoría aditiva no tiene importancia. (He aquí una versión local de mi afirmación: en un esquema afín, especificar una gavilla cuasi-coherente es equivalente a especificar una módulo sobre un fijo anillo. La categoría de módulos sobre un anillo fijo es ciertamente una categoría abeliana, aunque la categoría de anillos no lo sea).

También debería ser posible retroceder desde la definición de Gortz y Wedhorn hasta la de Hartshorne. Lo molesto es que Hartshorne quiere $\iota : Y \to X$ para ser un morfismo de esquemas mientras que el $\iota : Y \to X$ proporcionada por Gortz & Wedhorn es sólo una inclusión de espacios topológicos. Así que necesitamos especificar un morfismo de gavilla $\iota^\# : \mathcal O_X \to \iota_\star \mathcal O_Y$ tal que $(\iota, \iota^\#) : (Y, \mathcal O_Y) \to (X, \mathcal O_X)$ define un morfismo genuino de esquemas. Está claro que debemos definir $\iota^\#$ para ser la composición $ \mathcal O_X \twoheadrightarrow \mathcal O_X / \mathcal I \cong \mathcal O_Y$ para garantizar que la construcción actual es realmente la inversa de la anterior. Pero a menos que me esté perdiendo algo obvio, no puedo ninguna forma sencilla de demostrar que $(\iota, \iota^\#) : (Y, \mathcal O_Y) \to (X, \mathcal O_X)$ es un morfismo de esquemas sin hacer mucho trabajo. Personalmente, empezaría argumentando que la única manera de que $\iota_\star \mathcal O_Y$ puede ser isomorfo a $\mathcal O_X / \mathcal I $ es si $Y$ es el soporte de la gavilla $\mathcal O_X / \mathcal I$ . Dado que la cuestión es de carácter local, me gustaría centrar mi atención en un afín abierto $U \cong {\rm Spec \ } A \subset X$ . Escribir $\mathcal I|_U$ como $\widetilde{I}$ para algún ideal $I \subset A$ , demostraría que el apoyo de $\mathcal O_X / I$ es el conjunto $V(I) \subset {\rm Spec \ } A$ que es homeomorfo a ${\rm Spec \ }(A/I)$ como espacio topológico. Por último, examinando las secciones sobre conjuntos abiertos básicos y mapas de restricción entre conjuntos abiertos básicos, trataría de demostrar que $(Y, \mathcal O_Y)$ tiene la estructura de ${\rm Spec \ } (A / I)$ como esquema, y que el mapa $(\iota, \iota^\#) : (Y, \mathcal O_Y) \to (X, \mathcal O_X)$ es el morfismo de esquemas asociado al morfismo natural de anillos $A \twoheadrightarrow A / I$ .

[¡Disculpas por las ediciones anteriores de este post en las que interpreté mal tu afirmación sobre Gortz y Wedhorn!]

(3) Me temo que su hipótesis de que ${\rm Spec}(A / I)$ y ${\rm Spec}(A / I')$ son equivalentes cuando $\sqrt{I} = \sqrt{I'}$ no es cierto. Por ejemplo, considere: $$ X = {\rm Spec \ } k[T], \ \ \ \ \ Y = {\rm Spec \ } k[T] / (T), \ \ \ \ \ \ \ Y' = {\rm Spec \ } k[T] / (T^2).$$ $Y$ puede considerarse como una subvariedad cerrada de $X$ es el punto en el origen. Pero $Y'$ es una cosa totalmente diferente - no es una variedad en absoluto. $Y'$ debe considerarse como un "punto doble" en el origen.

Desde la perspectiva de Hartshorne, $Y$ y $Y'$ no puede ser isomorfo porque $k[T]/(T)$ es un anillo reducido mientras que $k[T]/(T^2)$ no es reducido, por lo que es imposible construir un isomorfismo de esquema entre $Y$ y $Y'$ .

¿Y cómo son $Y$ y $Y'$ diferente del punto de vista de Gortz & Wedhorn? Después de todo, los espacios topológicos subyacentes son los mismos, y los mapas de inclusión también son los mismos cuando se ven como mapas continuos entre espacios topológicos. La diferencia entre $Y$ y $Y'$ es que sus estructuras son diferentes. $\iota_\star \mathcal O_Y$ es isomorfo a $\mathcal O_X / \mathcal I$ con $\mathcal I = \widetilde{(T)}$ mientras que $\iota_\star \mathcal O_{Y'}$ es isomorfo a $\mathcal O_X / \mathcal I'$ con $\mathcal I' = \widetilde{(T^2)}$ .