Estoy tratando de probar o refutar la siguiente hecho:
Deje $R$ ser un anillo finito y $x \in R$ ser un divisor de cero. Si $x$ no es nada-potente, luego de algunos $n > 1$ tenemos $x^n = x$, es decir, $x$ $n$- potente.
Ya he probado para el sistema modular de los anillos de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, y mi colega encontrado un contraejemplo para el infinito de los anillos, la matriz $\pmatrix{2 &2\\0 &0}$ respecto de los enteros. La prueba de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ utiliza explícito de la caracterización de los divisores de cero en términos de la descomposición en factores primos de a $m$, y no veo cómo podría adaptar para el caso general.
Edit: se encontró un error en mi prueba. Un ejemplo contrario es $4\pmod{48}$, que satisface $4^n \equiv 16 \pmod{48}$$n \geq 2$. Voy a cambiar la pregunta.
Nuevo reclamo: vamos a $R$ $x$ ser como el anterior. Me parece, por el momento, eso $x$ puede ser nil-potente y papelería ( $x^n = y$ $n > n_0$ ). Puede algo más raro? Como, podemos tener $x^n = x^m \neq x$$1 < m < n$?
