Supongamos $\Gamma\subset SL_2(\mathbb{Z})$ no es susceptible de subgrupo, especialmente, $\Gamma=SL_2(\mathbb{Z})$. Considere la posibilidad de la acción natural de la $\Gamma$$S^1\times S^1=T^2$.
Cómo comprobar que esta acción está fuertemente ergodic? ($T^2$ está equipada con la medida de Haar).
Recordemos que una acción $\Gamma\curvearrowright (X,\mu)$ se llama fuertemente ergodic si para cada secuencia de conjuntos medibles $A_n\subset X$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n\Delta\gamma A_n)=0,\forall \gamma\in \Gamma$,$\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)(1-\mu(A_n))=0$.
Tenga en cuenta que desde $T^2$ es considerado como el Pontryagin doble de $\mathbb{Z}^2$, sabemos que para cualquier $f\in T^2$, de tal manera que $f(n,m)=z_1^nz_2^m, (z_2,z_2)\in T^2\forall (n,m)\in\mathbb{Z}^2$, entonces, para $$\gamma=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},$$ $\gamma f$ satisfies $(\gamma f)(n,m)=(z_1^az_2^c)^n(z_1^bz_2^d)^m$. But how to check the strong ergodicity condition? Since I do not know how to calculate $\mu(A_n\Delta\gamma A_n)$ en la práctica. Tal vez tenemos que hacer algunos análisis cualitativo en lugar de cuantitativa de análisis, pero, ¿cómo proceder?
