¿Es correcto?

Question

Quiero simplificar o encontrar una cota superior para el determinante $|K_1+K_2+I|$ donde $I$ es la matriz identidad, $K_1$ $K_2$ son positivas semi-definida matrices de tamaño $n$ y por lo tanto puede ser escrito como $K_1=U_1\Lambda_1 U_1^t$, $K_2=U_2\Lambda_2 U_2^t$, en que $U_1$ $U_2$ son unitarias matrices y $\Lambda_1, \Lambda_2$ son diagonales de las matrices.

Se puede decir $\det(U_1\Lambda_1 U_1^t +U_2\Lambda_2 U_2^t +I)\le \det(\Lambda_1 +\Lambda_2 +I)$?

Sugerencia: cuando sólo tenemos $K_1$ (o $K_2$) podemos escribir:

$|K_1+I|=|U_1\Lambda_1 U_1^t +I|=|\Lambda_1 U_1^tU_1 +I|=|\Lambda_1 +I|$

donde la segunda igualdad se debe a la identidad de $\det(AB+I)=\det(BA+I)$.

Answer 1

Por desgracia, la desigualdad que tratan de demostrar, no parece ser establecido por el general positiva semi-definida matrices. Sólo puedo demostrar que para el caso específico de $K_1, K_2$ de manera tal que los autovalores de la suma de estas matrices son siempre menor o igual que la correspondiente suma de los autovalores de cada uno de ellos.

Abajo está la prueba para este caso especial, si es de alguna utilidad para usted. Para obtener más detalles, consulte este artículo.

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Recordar:

• El conjunto de positivo semidefinite matrices es convexa (consulte la sección "otras propiedades", propiedad 12), es decir, $K_1, K_2$ son positivas semidefinite $\implies \alpha K_1 + (1-\alpha) K_2$ también es positiva semidefinite para todos los $\alpha \in (0,1)$. Mediante el establecimiento $\alpha = \frac{1}{2}$, podemos establecer que la suma de dos positivos semidefinite matrices $\left(K_1 + K_2\right) : = L $ también es positiva semidefinite.

• Para los dos positivos semidefinite matrices $A,B$ la siguiente desigualdad pliegues: $\det(A+B)\ge \det(A) + \det(B)$. Esto es debido a que el teorema de Minkowski

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Supongo que por $\det(U_1\Lambda_1 U_1^t +U_2\Lambda_2 U_2^t +I)\le \det(\Lambda_1 +\Lambda_2 +I)$ que significa
$$ \left| K_1 + K_2 + I \right| \le \left| \Lambda_1 + \Lambda_2 + I \right| $$ donde $K_1=U_1\Lambda_1 U_1^t, K_2=U_2\Lambda_2 U_2^t$.

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Desde $ L:=K_1 + K_2$ es positivo semidefinite, puede ser diagonalized como $L = P D P^T$. Entonces $$ \left| K_1 + K_2 +I \right| = \left| L +I \right| = \left| D + I \right| = \prod_{i=1}^n \big( \lambda_i\left( \right) + 1 \big), $$

donde $\lambda_1(Q), \dots, \lambda_n(Q)$ son los autovalores de una matriz $Q$. Por otro lado,

$$ \left| \Lambda_1 + \Lambda_2 + I \right| = \prod_{i=1}^n \big( \lambda_i\left( K_1\right) + \lambda_i\left( K_2\right) + 1\big) $$

Si para todas las $ i = 1, \dots,n$ disponemos de las siguientes desigualdades $$ \lambda_i(L) =\lambda_i(K_1 + K_2) \le \lambda_i(K_1) +\lambda_i(K_2), $$ esto implicaría $$ \left| K_1 + K_2 +I \right| = \prod_{i=1}^n \big( \lambda_i\left( L\right) + 1 \big) \le \prod_{i=1}^n \big( \lambda_i\left( K_1\right) + \lambda_i\left( K_2\right) + 1\big) = \left| \Lambda_1 + \Lambda_2 + I \right| $$

Si los autovalores de la desigualdad no se sostiene, entonces el resultado no sería válida.