Continua $f:[a,b] \to \mathbb{R}$, prueba $\exists \ c\in[a,b]$ tal que $f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$.

Question

Considere una función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Demostrar que existe un $c\in[a,b]$ tal forma que: $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$ ¿Esto también se sostenga si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es limitada, pero continua, sólo en $(a,b)$?

La primera parte parece intuitivo para mí, porque el $\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ (vamos a llamar a este valor $\alpha$) vagamente representa el área por unidad de longitud, y desde $f(x)$ es continua en a $[a,b]$ debe ser siempre igual a $\alpha$, o en un punto más bajo y en un punto más alto. Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, existe un $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=\alpha$.

Para la segunda parte creo que la conclusión a que aún se mantiene debido integral que no se preocupan de lo que sucede en el único discontinua de puntos mientras la función está acotada.

Así que esas son mis ideas intuitivas pero estoy luchando para que sea riguroso (si mis ideas son incluso corregir). Si alguien me pudiera ayudar con alguna información sobre cómo hacer esto, yo estaría muy agradecido!

Answer 1

Que $F(x)=\int_a^x f(t)dt$. %#% Es continua en $f$ #%. $[a,b]$ es diferenciable en $F$ y por el teorema del valor medio, $(a,b)$ $ para el segundo, revisión de la hipótesis en el teorema del valor medio.

Answer 2

Que $\,F(x):=\int f(x)\,dx\,$ sea un primitivo de $\,f(x)\,$. $\,F\,$ Es derivable así por el MVT:

$$\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(c)=f(c)$$

Answer 3

Es continuo, $f\colon(a,b)\to \mathbb R$ $f(x)<\alpha$ % todo $x\in(a,b)$y $\int_a^b f(x)\,dx$ existe. Entonces $\int_a^b f(x)\,dx\le (b-a)\alpha$. De hecho, con $\alpha'=\frac{f(\frac{a+b}2)+\alpha}2$, hay un intervalo de $(c,d)$ alrededor de $\frac{a+b}2$ $f(x)<\alpha'$ $(c,d)$. Así $\int_a^b f(x)\,dx\le (c-a)\alpha+(d-c)\alpha'+(b-d)\alpha<(b-a)\alpha$. Del mismo modo, $f(x)>\alpha$ % todo $x\in(a,b)$implica $\int_a^b f(x)\,dx>(b-a)\alpha$. Así por dejar $\alpha =\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ sabemos que ni $f(x)<\alpha$ % todo $x$ni $f(x)>\alpha$ % todos $x$. Si $f(x)\ne\alpha$ % todo $x$, concluimos $f(x_1)<\alpha$ $x_1$ y $f(x_2)>\alpha$ $x_2$, así que IMV puede ser aplicado a $[x_1,x_2]$ (o $[x_2,x_1]$).

Answer 4

$f\in\mathcal C[a,b]\implies\exists ~c,d\in[a,b]$ tal que $f(c)=\inf_{x\in[a,b]}f(x),~f(d)=\sup_{x\in[a,b]}f(x).$

Claramente entonces,

$f(c)(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq f(d)(b-a)$

es decir, $ f(c)\leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq f(d).$

Ahora utilizar el teorema del valor intermedio.