Según el segundo teorema de incompletitud de Godel, una teoría consistente (a la que se aplica el teorema) no puede demostrar su consistencia. He aprendido que también es imposible tener un par de teorías consistentes que demuestren la consistencia de la otra. Pero no veo cómo se deduce esto del segundo teorema. ¿O hay algo más?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $A$ prueba $B$ es coherente y $B$ prueba $A$ es consistente. Queremos demostrar que esto significa que $A$ prueba $A$ es consistente.
Podemos considerar que "A es coherente" significa " $0=1$ no es demostrable en $A$ ". Para demostrar esto por contradicción en $A$ Trabajamos en $A$ y asumir " $0=1$ es demostrable en $A$ ". Entonces $B$ demostraría " $0=1$ es demostrable en $A$ ", porque $B$ es una teoría de la aritmética suficientemente fuerte. Y lo que es más importante, porque $A$ es lo suficientemente fuerte, $A$ demostrará que " $0=1$ es demostrable en $A$ " implica " $B$ demuestra que $0=1$ es demostrable en $A$ '". Fíjate en que hay dos niveles de citas.
Pero asumimos que $B$ prueba $A$ es consistente, lo que significa que $B$ demuestra " $0=1$ no es demostrable en $A$ ". Además, porque $A$ es lo suficientemente fuerte, $A$ demuestra que " $B$ demuestra que $0=1$ no es demostrable en $A$ '".
Ahora tenemos una contradicción: a partir de la suposición " $0=1$ es demostrable en $A$ ", tenemos que $A$ demuestra que tanto " $B$ demuestra que $0=1$ no es demostrable en $A$ '" y " $B$ demuestra que $0=1$ es demostrable en $A$ '". Así que, bajo esa suposición extra, $A$ demuestra que " $B$ es incoherente". Pero también asumimos $A$ demuestra " $B$ es coherente". Así que $A$ demuestra que la suposición extra es falsa, lo que significa que $A$ demuestra " $0=1$ no es demostrable en $A$ ",
Así que, en general, bajo los supuestos habituales de que $A$ y $B$ son lo suficientemente fuertes, si $A$ prueba $B$ es coherente y $B$ prueba $A$ es consistente, entonces $A$ prueba $A$ es consistente. Eso es imposible por el teorema de incompletitud.
