5 votos

Dejemos que $R$ sea un anillo finito (con unidad) y $S$ , $T$ sean subrubros de $R$ . Es $S \cup T$ ¿un subring de R?

Dejemos que $R$ sea un r i ng (con unidad) y $S$ , $T$ sean subrubros de $R$ . Es $S \cup T$ ¿un subring de R?

(Los contraejemplos me resultan fáciles de encontrar cuando $R$ es un anillo infinito o un anillo finito rng .)

P.D. Estoy aprendiendo por mi cuenta matemáticas de nivel universitario. Perdona si la pregunta es trivial o estúpida. ¡Gracias por todas las respuestas!

1 votos

Es un hecho general que dos subgrupos $H, K$ de un grupo $G$ no tendrán una unión que sea un subgrupo, a menos que uno contenga al otro. Deberías poder explotar este hecho aquí, ya que los anillos son grupos abelianos con una estructura extra.

1 votos

@pjs36 ¡Oh, gracias! Actualmente aprendo de Hungerford's (licenciatura) Álgebra abstracta y este libro enseñan la teoría de los anillos antes que la teoría de los grupos. Probablemente cambie a usar Dummit y Foote pronto.

1 votos

Sugerencia: vea esto grupo-teórico versión

5voto

Lissome Puntos 31

Reclamación Dejemos que $R$ sea un anillo (con unidad) y $S, T$ sean subrubros de $R$ . Entonces $S \cup T$ es un subring de $R$ si y sólo si $S \subset T $ o $T \subset S$ .

Prueba: $\Leftarrow$ está claro, ya que en este caso tenemos $S \cup T=S$ o $S \cup T=T$

$\Rightarrow$ Supongamos por contradicción que esto no es cierto, entonces existe $s \in S \backslash T$ y $t \in T \backslash S$ .

Desde $s,t \in S \cup T$ se deduce que $s+t \in S \cup T$ y por lo tanto $s+t \in S$ o $s+t \in T$ .

En el primer caso obtenemos $$t=(s+t)-s \in S$$ mientras que en el segundo tenemos $$s=(s+t)-t \in T$$ Contradicción.

Nota Es irrelevante si $R$ es finito o infinito.

P.D. Para campos finitos, se puede utilizar el hecho de que el grupo multiplicativo es cíclico para demostrar un resultado más fuerte:

Si $R$ es un anillo finito, es posible encontrar subrings $T_1,..,T_n$ para que no se incluyan entre sí, y la unión sea un anillo, pero debemos tener $n \geq 3$ .

Si $K$ es un campo finito, y $T_1,..,T_n$ son subcampos tales que su unión es un subcampo, entonces existe un $j$ para que $T_j$ contiene todos los demás $T_i$ .

0 votos

También parece que es irrelevante si $R$ es un anillo o un rng .

1 votos

@willhuang00 La misma prueba también vale para los grupos, sólo he utilizado las propiedades aditivas. La multiplicación es irrelevante :)

4voto

jgon Puntos 3067

Consideremos el campo finito $K=\mathbb{F}_{64}$ . Contiene los campos finitos $\mathbb{F}_8$ y $\mathbb{F}_4$ desde $64=2^6$ y $2,3|6$ . Pero como $(2,3)=1$ . $\mathbb{F}_8\cap\mathbb{F}_4 = (1)$ . Entonces $\mathbb{F}_8 \cup \mathbb{F}_4$ tiene un tamaño de 11, pero el anillo más pequeño que contiene estos dos es el campo completo, ya que si $\alpha$ es un elemento primitivo para $\mathbb{F}_4$ en $L=\mathbb{F}_2$ , entonces si dejamos que $F=\mathbb{F}_8$ , $F[\alpha]$ es un campo ya que $\alpha$ es necesariamente algebraico sobre $L\subset F$ y el campo contiene necesariamente $F$ y $L[\alpha]=\mathbb{F}_4$ que como el tamaño del campo es $2^d$ implica $2,3|d$ y por lo tanto $6|d$ Así que $F[\alpha]=K$ todo el campo.

Nótese que un elemento primitivo existe definitivamente ya que el grupo de unidades de un campo finito es cíclico por lo que un generador del grupo de unidades del campo mayor será un elemento primitivo para el campo sobre cualquier subcampo.

1voto

mweiss Puntos 6697

Aunque N.S. ha tratado el caso general, he pensado que otro contraejemplo podría ser útil.

Tomemos un anillo finito cualquiera $A$ y formar a partir de él el anillo $A[x,y]$ de polinomios en dos variables con coeficientes en $A$ . Ahora factoriza por las relaciones $x^n=1$ y $y^m=1$ para algunos $n,m$ . Ahora tenemos $R=A[x,y]/(x^n,y^m)$ -- un anillo finito. Dentro de $R$ encontramos la imagen de $A[x]$ y llamarlo $S$ y la imagen de $A[y]$ y llamarlo $T$ .

De manera informal, $S$ "parece" el conjunto de polinomios en una sola variable $x$ con coeficientes en $A$ , de grado $< n$ y $T$ "parece" el conjunto de polinomios en una sola variable $y$ con coeficientes en el mismo anillo, de grado $< m$ .

$S$ y $T$ son subrings de $R$ pero $S \cup T$ no lo es, porque no es cerrado bajo adición o multiplicación: $x \in S$ y $y \in T$ pero $x+y \notin S \cup T$ y $xy \notin S \cup T$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X