Reclamación Dejemos que $R$ sea un anillo (con unidad) y $S, T$ sean subrubros de $R$ . Entonces $S \cup T$ es un subring de $R$ si y sólo si $S \subset T $ o $T \subset S$ .
Prueba: $\Leftarrow$ está claro, ya que en este caso tenemos $S \cup T=S$ o $S \cup T=T$
$\Rightarrow$ Supongamos por contradicción que esto no es cierto, entonces existe $s \in S \backslash T$ y $t \in T \backslash S$ .
Desde $s,t \in S \cup T$ se deduce que $s+t \in S \cup T$ y por lo tanto $s+t \in S$ o $s+t \in T$ .
En el primer caso obtenemos $$t=(s+t)-s \in S$$ mientras que en el segundo tenemos $$s=(s+t)-t \in T$$ Contradicción.
Nota Es irrelevante si $R$ es finito o infinito.
P.D. Para campos finitos, se puede utilizar el hecho de que el grupo multiplicativo es cíclico para demostrar un resultado más fuerte:
Si $R$ es un anillo finito, es posible encontrar subrings $T_1,..,T_n$ para que no se incluyan entre sí, y la unión sea un anillo, pero debemos tener $n \geq 3$ .
Si $K$ es un campo finito, y $T_1,..,T_n$ son subcampos tales que su unión es un subcampo, entonces existe un $j$ para que $T_j$ contiene todos los demás $T_i$ .
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Es un hecho general que dos subgrupos $H, K$ de un grupo $G$ no tendrán una unión que sea un subgrupo, a menos que uno contenga al otro. Deberías poder explotar este hecho aquí, ya que los anillos son grupos abelianos con una estructura extra.
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@pjs36 ¡Oh, gracias! Actualmente aprendo de Hungerford's (licenciatura) Álgebra abstracta y este libro enseñan la teoría de los anillos antes que la teoría de los grupos. Probablemente cambie a usar Dummit y Foote pronto.
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Sugerencia: vea esto grupo-teórico versión