Desigualdades que implican $\lim \sup$

Question

Dejemos que $\{a_n\}$ sea una secuencia de términos positivos. Demostrar que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\ge e$

Estoy tratando de reducir el LHS a alguna forma del tipo $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ y también intentó utilizar el hecho de que $\lim \sup a_n\ge \lim a_n$ pero no pudo conseguir mucho.

Answer 1

Considere el conjunto $\mathfrak N$ de números enteros $n$ tal que $\dfrac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\lt\dfrac{1+n}n$ . Para cada $n$ en $\mathfrak N$ , uno tiene $\dfrac{a_n}n-\dfrac{a_{n+1}}{n+1}\gt\dfrac{a_1}{n+1}$ . Supongamos que $\mathfrak N$ contiene todos los números enteros después de algunos $n_0$ entonces, para cada $k\geqslant n_0$ , $$\dfrac{a_{n_0}}{n_0}\gt\dfrac{a_{n_0}}{n_0}-\dfrac{a_{k}}{k}\gt a_1\sum\limits_{i=n_0+1}^{k}\dfrac1{i}.$$ El límite inferior diverge cuando $k\to\infty$ por lo que la hipótesis es absurda, es decir, el conjunto de $n$ tal que $\dfrac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\geqslant\dfrac{1+n}n$ es infinito. En particular, $\left(\dfrac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\geqslant\left(\dfrac{1+n}n\right)^n$ infinitamente a menudo. El límite de la RHS cuando $n\to\infty$ es $\mathrm e$ Por lo tanto, esto demuestra el resultado.

Del mismo modo, para cada positivo $c$ , $$\limsup_{n\to\infty}\left(\dfrac{c+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\geqslant\mathrm e.$$