Uno se siente tentado (como estaba originalmente), para argumentar de la siguiente manera: desde $M\cong M\oplus M\cong M\times M$, tenemos
$$R = \mathrm{Hom}(M,M) \cong \mathrm{Hom}(M,M\times M) \cong \mathrm{Hom}(M,M)\times\mathrm{Hom}(M,M) = R\times R,$$
y se detiene allí. El problema con el argumento de que en algunos casos estamos tratando con estos objetos como $\mathbb{Z}$-módulos en lugar de $R$-módulos (específicamente el isomorphisms son isomorfismo de $\mathrm{Hom}(M,M)$ $\mathrm{Hom}(M,M\times M)$es, ahora mismo, sólo un isomorfismo como $\mathbb{Z}$-módulos), así que un poco de cuidado debe ser ejercido para hacer que el argumento en realidad el trabajo.
En primer lugar, tenga en cuenta que $M\cong M\times M$ $\mathbb{Z}$- módulos.
Definir un homomorphism $\varphi\colon M\to M\times M$ por mapeo $(m_i)$$\bigl((m_{2i-1}), (m_{2i})\bigr)$. Es decir, $(m_1,m_2,m_3,\ldots)$ mapas a $\bigl( (m_1,m_3,m_5,\ldots),(m_2,m_4,m_6,\ldots)\bigr)$.
Los elementos de $R$ puede ser considerado como infinito "columna-finito matrices"; es decir, cada endomorfismo $M\to M$ corresponde a una familia de funciones $(\mathbf{f}_i)_{i\in\omega}$,$\mathbf{f}_i\colon\mathbb{Z}\to M$; por lo tanto $\mathbf{f}_i = \sum_{j\in\omega}f_{ji}e_j$ donde $e_j$ es el elemento de la $M$ que ha $1$ $j$th coordinar y $0$s en otros lugares, $f_{ji}\in\mathbb{Z}$, e $f_{ji}=0$ en casi todas las $j$.
Si tomamos un elemento de $\mathbf{f}=(f_{ij})$$R$, y la componen con el isomorfismo $M\to M\times M$, obtenemos un homomorphism $M\to M\times M$, dado por $\bigl( (f_{i,2j-1}), (f_{i,2j})\bigr)$. Por lo que el mapa de $\mathrm{Hom}(M,M)\to\mathrm{Hom}(M,M)\times \mathrm{Hom}(M,M)$ mapas de $(f_{ij})$$\bigl( (f_{i,2j-1}),(f_{i,2j})\bigr)$.
Si queremos componer mapas de $\mathbf{f}=(f_{ij})$$\mathbf{g}=(g_{ij})$, se obtiene el mapa
$(h_{ij})$, donde
$$h_{ij} = \sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f_{kj}.$$
Desde $f_{kj}=0$ en casi todas las $k$, la suma es finita y $h_{ij}$ tiene sentido.
Esto le da a la acción de la $R$$\mathrm{Hom}(M,M)$. La acción de la $R$ $\mathrm{Hom}(M,M)\times\mathrm{Hom}(M,M)$ es el dado por
$$
\mathbf{g}\bigl((f_{ij}),(f'_{ij})\bigr) = \bigl( \mathbf{g}(f_{ij}), \mathbf{g}(f'_{ij})\bigr)
= \bigl( (h_{ij}), (h'_{ij})\bigr)$$
donde
$$h_{ij} = \sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f_{kj},\quad\text{end}\quad h'_{ij}=\sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f'_{kj}.$$
Para ver que el mapa de $\mathrm{Hom}(M,M)$ $\mathrm{Hom}(M,M\times M)$respeta la acción de la $R$ (es decir, que tenemos un $R$-módulo homomorphism, y no meramente un $\mathbb{Z}$-módulo homomorphism), vamos a $(f_{ij})\in\mathrm{Hom}(M,M)$$\mathbf{g}\in R$. El elemento $\mathbf{g}(f_{ij})$ se asigna a
$$\left( \Bigl(\sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f_{k,2j-1}\Bigr),\Bigl( \sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f_{k,2j}\Bigr)\right)$$
Por otro lado, si dejamos $\mathbf{g}$ actuar en $\bigl( (f_{i,2j-1}), (f_{i,2j})\bigr)$, obtenemos
$$\mathbf{g}\left( (f_{i,2j-1}), (f_{i,2j})\right) = \left(\Bigl( \sum_{k=1}^{\infty}g_{ik},f_{i,2j-1}\Bigr), \Bigl( \sum_{k=1}^{\infty}g_{ik}f_{i,2j}\Bigr)\right),$$
que es el mismo que el de la imagen de $\mathbf{g}(f_{ij})$. Así que el homomorphism $\mathrm{Hom}(M,M)\to\mathrm{Hom}(M,M)\times\mathrm{Hom}(M,M)$ es en realidad un homomorphism como $R$-módulos. Desde el mapa original como $\mathbb{Z}$-módulos fue un bijection, por lo que es éste, por tanto, $\mathrm{Hom}(M,M)$ $\mathrm{Hom}(M,M)\times\mathrm{Hom}(M,M)$ son isomorfos no sólo como $\mathbb{Z}$-módulos, pero también como $R$-módulos. Así obtenemos:
$$R = \mathrm{Hom}(M,M) \cong \mathrm{Hom}(M,M)\times\mathrm{Hom}(M,M) =R\times R,$$
con el isomorfismo de ser un isomorfismo de $R$-módulos, como se desee.
