La singularidad de primer ideales de $\mathbb F_p[x]/(x^2)$

Question

¿Cuáles son los principales ideales de la $\mathbb F_p[x]/(x^2)$? Me han dicho que el único es $(x)$, pero me gustaría una prueba de ello. Quiero decir que, en un primer ideal de $\mathbb F_p[x]/(x^2)$ corresponde a un primer ideal $P$ $\mathbb F_p[x]$ contiene $(x^2)$. Y, a continuación, $P$ contiene $(x)$ ya que es primo. Pero no sé si el primer ideales corresponden al primer ideales en virtud del teorema de la correspondencia, y todavía me parece que no puede demostrar que si lo hacen, $P$ no pueden ser algunos de los principales ideales correctamente, más grande que la de $(x)$.

Un poco de contexto: estoy pensando en por qué el primer ideales $\mathfrak p$ $\mathcal O_K$ ( $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ $\textrm{Norm}(\mathfrak p)=p$ , un ramificada prime) son únicos. Mi definición de un ramificada principal es que el $\mathcal O_K/(p) \cong \mathbb F_p[x]/(x^2)$ y yo sabemos nada más acerca de estos números primos.

Answer 1

El primer ideales corresponden en virtud del teorema de la correspondencia, por lo que su argumento es suficiente.

Para ver esto,

Deje $I\subset P\subset R$ ser cualquier prime en $R$ que contiene un ideal $I$, luego $R/P \cong \frac{R/I}{P/I}$ por el 3er teorema de isomorfismo. Desde $P$ es primo, $R/P$ es una parte integral de dominio, por lo tanto también lo es $\frac{R/I}{P/I}$. Por lo tanto, $P/I$ es un alojamiento ideal en $R/I$.

Ahora a empezar con un primer ideal $Q\subset R/I$, ascensor con un ideal que contiene a $I\subset Q'\subset R$, y aplicar el mismo argumento a ver que $Q'$ es un alojamiento ideal en $R$.

La unicidad, estás en lo correcto en decir que si $(x^2)\subset P$, $(x)\subset P$ $P$ es primo. Pero $(x)$ es máxima, por lo que esto obliga a $(x) = P$, por definición, de un ideal maximal. A ver que es de la máxima, nota: $F[x]/(x)\cong F$ es un campo.

Answer 2

y todavía me parece que no puede demostrar que si lo hacen [corresponde], $P$ no pueden ser algunos de los principales ideales correctamente, más grande que la de $(x)$.

Suponiendo que usted se convenza de la correspondencia de primer ideales (que está bien) he aquí un modo elemental, al ver que no sólo puede ser un primer ideal en este anillo.

Ahora $(x)$ es un ideal maximal de a $\Bbb F[x]$ para cualquier campo $F$. Esto es fácilmente visto desde $F[x]/(x)\cong F$. El ideal de $(x^2)=(x)^2$ por lo tanto es una potencia de un ideal maximal.

Se puede decir que un poco por la abstracción:

Proposición: Si $R$ es cualquier anillo y $M$ es un ideal maximal, $R/M^n$ tiene exactamente un primer ideal, es decir,$M/M^n$.

La prueba: Un primer ideal de $R/M^n$ se parece a $P/M^n$ donde $P$ es un primer ideal de $R$ contiene $M^n$. Claramente $M^n\subseteq P$, y por primeness $M\subseteq P$. Pero $M$ es máxima, por lo $M=P$. Por lo tanto no es sólo un primer ideal que contiene a $M^n$, y sólo un primer ideal de $R/M^n$.