Ejemplos de interesantes funciones integrables con al menos 2 puntos fijos y explícito inversa

Question

¿Cuáles son algunas de las interesantes funciones que puede usar para demostrar esta integración truco:

$$\int_a^b [f(x)+f^{-1}(x)]=b^2-a^2$$

Me gustaría saber de algunas funciones interesantes donde este truco no es obvia. EDIT: Las funciones que estoy recibiendo son los más obvios como $f(x)=x$, lo que no quiero. :)

Answer 1

Tome $$f(x)=x+\sin x$$ Ahora, si se le pregunta a encontrar $$\int_{0}^{\pi}f^{-1}(x)dx^{**}$$Do you know $f^{-1*}$, ¡No! Perplejo! Uso de la identidad: $$\int_{0}^{\pi}f^{-1}(x)dx=\pi^2-\int_{0}^{\pi}f(x)dx=\frac{\pi^2}2-2$$ De otra manera usted puede utilizarlo en cualquier lugar que usted no puede conseguir a $f^{-1}$ en las formas explícitas.

_{*en forma explícita}

_{**$\small f(0)=0\wedge f(\pi)=\pi$}

Answer 2

Bien, usted puede tomar $f(x)=\sin(\pi x/2)^n$, por lo que el $f^{-1}(x)=2 \arcsin(x^{1/n})/\pi$ y $$\int_0^1 f(x)+f^{-1}(x) = 1$$

Si sabes cómo integrar la $f$, esto permite calcular la integral definida $$\int_0^1 \arcsin(x^{1/n})$$

Pero esto podría no ser lo que usted está buscando, ya que sospecho que usted desea en un caso donde la función $f+f^{-1}$, frente a la función de $f^{-1}$, se ve como algo que puede ocurrir de forma natural.

Answer 3

La primera y más obvia que satisfaga su condición es $f(x)=x$.

Answer 4

Voy a tirar uno en para patadas. Esta es la primera que se me vino a la mente que no está directamente en el formulario usted declaró. No es nada alucinante, pero aquí vamos.

$\int 2xdx = x^2$, obviamente. Ahora vamos a $f(x) = x$. A continuación, obtenemos \begin{align*}\int_a^b 2xdx & = \int_a^b 2f(x)dx \\ & = \int_a^b (f(x) + f(x))dx \\ & = \int_a^b (f(x) + f^{-1}(x))dx \\ & = b^2 - a^2 \text{,} \end{align*}

y, por supuesto, esto simplemente coincide exactamente con lo que cabría esperar de $\int_a^b 2xdx$.

Answer 5

Deje $a$ $b$ ser mayor que o igual a 1. $\int_a^b{e^{x^2}+\sqrt{\ln{x}}dx}=b^2-a^2$