Encontrar el dominio de una función trigonométrica

Question

Encontrar el Dominio de la función $y=\sqrt{1+2 \sin x}$. Mi solución:

1. $1+2 \sin x \geq 0$ (desde la raíz cuadrada de un número negativo no está definido)
2. $2 \sin x \geq -1$
3. $\sin x \geq -1/2$
4. $x \ge -\frac{\pi}{6}$
5. $x \geq (2n-\frac16) \pi$;

pero la respuesta es $\left[\left(2n-\frac16\right)\pi;\left(2n+\frac76\right)\pi\right]$$n\in\mathbb Z$.

Si el paso 4 dice que cualquier número mayor que o igual a $-\pi/6$ va a satisfacer la ecuación, entonces cualquier número mayor que o igual a $-\pi/6$ se parte de un dominio, por lo que el dominio debe ser $\left[-\pi/6, \infty\right)$

Answer 1

Bien hecho hasta el paso 4. El problema es que $\sin x$ no es una función monotónica de $x$, por eso es importante saber cómo resolver trigonométricas de las desigualdades. El método habitual es encontrar que $x\in[0,2\pi)$ admite la desigualdad y, a continuación, agregue $+2\pi k$$k\in\mathbb Z$.

E. g. en su caso, sólo $x\in [0,7\pi/6]\cup[11\pi/6,2\pi)$ admite la desigualdad $\sin x\geq \frac12$. Por eso, la respuesta es distinta a la tuya. De hecho, la respuesta que he dado aquí es el mismo que en su libro debido a la arbitraria $k$ $2\pi k$ que agregar.

Answer 2

Usted cometió un error en la resolución de $\sin x \ge -\frac{1}{2}$. La solución en el dominio $-\pi < x \le \pi$ los rendimientos de dos soluciones:

Uno de ellos $ -\frac{\pi}{6} \le x \le \pi$ tienes correctamente, pero no hay otra.