Rango de la matriz como diferencia de rangos

Question

Si $X$ es un $n \times p$ matriz de rango $r$ y $C = AX$ para algunos $q \times n$ matriz $A$ con rango $(A) = q$ ¿Cómo puedo mostrar ese rango? $(X(I-C^{-}C))=$ rango $(X)-$ rango $(C)$ ? Puedo mostrar ese rango $(X(I-C^{-}C))\geq $ rango $(X)-$ rango $(C)$ pero, ¿cómo puedo conseguir la desigualdad inversa?

Nota : $C^{-}$ es una inversa generalizada de $C$ .

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$C^-$ se denota $C^+$ . El hecho de que $A$ tiene un rango máximo es inútil.

1) Demostramos que, para cada $X,C$ , uno tiene $rank(X(I_p-C^+C))=dim(\ker(C))-dim(\ker(X)\cap \ker(C))$ .

Prueba: $C^+C$ es la proyección ortogonal sobre $im(C^*)$ es decir, en el ortogonal de $\ker(C)$ . Entonces $I_p-C^+C$ es la proyección ortogonal sobre $\ker(C)$ . Así, $im(I-C^+C)=\ker(C)$ y $im(X(I-C^+C))=X(\ker(C))$ . Dejemos que $\ker(C)=(\ker(C)\cap\ker(X))\oplus Z$ Entonces $X(\ker(C))=X(Z)$ y $X$ es un isomorfismo de $Z$ en $X(\ker(C))$ y hemos terminado.

2) Aquí $\ker(X)\subset \ker(C)$ ; deducimos que $rank(X(I_p-C^+C))=dim(\ker(C))-dim(\ker(X))=rank(X)-rank(C)$ .

EDITAR: @Dunn,@Gigili, veo que sois incapaces de enviar un simple "gracias". Una grosería increíble.