La convergencia de Cesàro significa para una secuencia monótona de

Question

Si $(a_n)$ es una monótona secuencia y

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} $$

existe y es finito, no $a_n$ convergen? Si es así, ¿convergen al mismo límite?

Yo dije que esto era cierto en una respuesta anterior de la mina. Creo que me había convencido a mí misma de que en el momento pero me parece que no puede ahora.

Answer 1

Usted tiene que, en general, si $b_n$ es monótona y acotada, entonces $$\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$ (este es Stolz-Cesaro teorema)

Aplicar esto para $b_n = n$, e $a_n = a_1+...+a_n$ para obtener $$\liminf_{n\to\infty} a_n \leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_1+...+a_n}{n}\leq \limsup_{n \to \infty}\frac{a_1+...+a_n}{n}\leq\limsup_{n\to\infty}a_n$$

Si $a_n$ tiende a $\pm \infty$, entonces la convergencia de la secuencia a un límite finito se contradice. Por lo tanto $a_n$ es acotado, y la monotonía que implica la convergencia.

Answer 2

$a_n$ monótona $\implies \lim a_n $ existe en $[-\infty,\infty] \implies$ Cesaro significa $\to$ mismo límite. Desde estos medios converge a un límite finito, por lo que no $a_n.$

Añadido el 10 de abril de 2015: no sé por qué, pero hay algo en mi primera respuesta que parece ser controvertido. Tal vez es porque faltan los detalles. Pido disculpas por cualquier confusión, pero es tan simple como cualquier cosa puede ser, dado el siguiente resultado conocido: Vamos a $a_n$ ser una verdadera secuencia, y deje $C_n$ ser su Cesaro medios. A continuación, $a_n \to L \in [-\infty,\infty]\implies C_n\to L.$ Corolario: Si $a_n$ es monotono y $C_n \to L \in [-\infty,\infty], $ $a_n \to L.$ Prueba: $a_n$ monotono implica $a_n\to$ $M\in [-\infty,\infty].$ por lo Tanto, $C_n \to M.$ Pero es dado $C_n \to L.$ por lo tanto $M=L$ por la singularidad de los límites, y por lo tanto $a_n \to L.$

Answer 3

La Secuencia Converge Implica la Media Converge

Supongamos que $$ \lim_{n\to\infty}a_n=L $$ Entonces para cualquier $\epsilon\gt0$, hay un $N$, de modo que si $n\ge N$,$|a_n-L|\le\epsilon$. Entonces $$ \begin{align} &\left|\,\lim_{M\to\infty}\frac1M\left(\sum_{n=1}^{N-1}a_n+\sum_{n=N}^Ma_n\right)-L\,\right|\\ &=\left|\,\lim_{M\to\infty}\frac1M\sum_{n=1}^{N-1}(a_n-L)+\lim_{M\to\infty}\frac1M\sum_{n=N}^M(a_n-L)\,\right|\\ &\le0+\lim_{M\to\infty}\frac{M-N+1}M\epsilon\\[9pt] &=\epsilon \end{align} $$ Por lo tanto, la media converge al mismo límite.

Significa que Converge Implica la Secuencia Converge

Vamos a probar el contrapositivo. Si $a_n$ no converge, entonces la media no converge.

Si $a_n$ es monótona y acotada, entonces la Convergencia Monótona dice $a_n$ converge. Por lo tanto, si $a_n$ no converge, $a_n$ es no acotada.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_n$ está aumentando, pero no acotada arriba. Entonces, para cualquier $L$, hay un $N$, de modo que si $n\ge N$,$a_n\ge L$. Esto implica que $$ \begin{align} \lim_{M\to\infty}\frac1M\left(\sum_{n=1}^{N-1}a_n+\sum_{n=N}^Ma_n\right) &\ge\lim_{M\to\infty}\frac1M\sum_{n=1}^{N-1}a_n+\lim_{M\to\infty}\frac{M-N+1}{M}L\\ &=L \end{align} $$ Así, para cualquier $L$ tenemos que la media es al menos $L$.

Answer 4

Una monótona secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ tiende a algunas límite de $A\in[-\infty,+\infty]$. Si $a_n\to\text{some finite number}$$\dfrac{a_1+\cdots+a_n}n\to\text{that same number}$. Así que la única alternativa (suponiendo, sin pérdida de generalidad, que es no decreciente) es $$ a_n \+\infty\quad \text{ y } \quad \frac{a_1+\cdots+a_n}n \a<+\infty. $$ Desde $a_n\to+\infty$, tenemos para todos, pero un número finito de $n$, la desigualdad de $a_n>A+1$. Pick $N$ suficientemente grande como para que si $n\ge N$$(a_1+\cdots+a_n)/n>A-1$$a_n>A+\frac 9 {10}$. Ahora considere la posibilidad de \begin{align} & \frac{a_1+\cdots+a_{1000N}}{1000N} \\[10pt] = {} & \frac{N}{1000N} \left( \frac{a_1+\cdots+a_N}{1000N} \right) + \frac{1000N-N}{1000N} \left( \frac{a_{N+1}+\cdots+a_{1000N}}{1000N - N} \right) \\[10pt] > {} & \frac 1 {1000} (A-1) + \frac{999}{1000} \left(A+\frac 9 {10}\right) = A + 0.8981. \end{align} Así que hay una contradicción.