La colección de conjuntos abiertos de ${\mathbb R}$ con topología estándar sólo tiene cardinalidad $2^{\mathbb N}$ porque podemos mapear la colección de conjuntos contables de intervalos con puntos finales racionales en la colección de conjuntos abiertos. Por supuesto, si declaramos todos los subconjuntos de ${\mathbb R}$ para ser abierto, entonces la cardinalidad de la colección de conjuntos abiertos sería mayor. Pero, ¿existe un ejemplo "natural" (por ejemplo, de interés folclórico) de una topología no trivial sobre ${\mathbb{R}}$ tal que el número de conjuntos abiertos es mayor que $2^{\mathbb N}$ ?
Respuestas
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El Línea Michael $M$ es un ejemplo clásico: se obtiene de $\Bbb R$ aislando cada irracional y dejando cada racional con su base local habitual. Es decir, si $\tau$ es la topología habitual en $\Bbb R$ , $\tau\cup\big\{\{x\}:x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\big\}$ es una base para la topología de $M$ . $M$ es hereditariamente paracompacto, y cada potencia finita de $M$ es paracompacto, pero $M^\omega$ no es paracompacto, y $M\times(\Bbb R\setminus\Bbb Q)$ , donde $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ tiene su topología métrica habitual, ni siquiera es normal. Dado que $M$ tiene $2^\omega=\mathfrak{c}$ puntos aislados, tiene claramente $2^{\mathfrak{c}}$ conjuntos abiertos.
Otra se llama a veces la topología de la secuencia racional. Brevemente, se obtiene aislando cada racional, asignando a cada irracional $x$ una secuencia $\langle q_n^x:n\in\omega\rangle$ de racionales que convergen a $x$ en la topología habitual, y dejando que los conjuntos $\{x\}\cup\{q_n^x:n\ge m\}$ para $m\in\omega$ sea una base local en $x$ . El espacio resultante es localmente compacto, de Hausdorff y de dimensión cero, pero como es separable y tiene un subconjunto cerrado y discreto -los irracionales- de cardinalidad $2^\omega$ No es normal. Para cada $A\subseteq\Bbb R\setminus\Bbb Q$ el conjunto $A\cup\Bbb Q$ está abierto, por lo que este espacio también tiene $2^\mathfrak{c}$ conjuntos abiertos.
La línea Sorgenfrey no es un ejemplo: si $U$ es abierto en la línea de Sorgenfrey, hay un conjunto abierto euclidiano $V$ y un conjunto contable $C$ tal que $U=V\cup C$ y como sólo hay $2^\omega$ Conjuntos abiertos euclidianos y $2^\omega$ subconjuntos contables de $\Bbb R$ Sólo hay $2^\omega\cdot2^\omega=2^\omega$ Juegos abiertos de Sorgenfrey.
Etienne
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Un buen candidato es el llamado topología de densidad que en realidad es bastante útil en la teoría del potencial. Por definición, un conjunto $A\subset\mathbb R$ es abierta para esta topología si $A$ es medible por Lebesgue y tiene densidad $1$ en cada punto $x\in A$ es decir $$\forall x\in A\;:\; \lim_{h\to 0^+}\,\frac{m(A\cap [x-h,x+h])}{2h}=1\, , $$ donde $m$ es la medida de Lebesgue.
Una propiedad de esta topología (llámese $\tau$ ) es que todos los subconjuntos medibles de $\mathbb R$ con medida de Lebesgue $0$ son $\tau$ -cerrado. Así que hay $2^{\mathbf c}$ conjuntos cerrados en relación con $\tau$ (y por lo tanto $2^{\bf c}$ conjuntos abiertos).
Si está interesado, puede echar un vistazo al siguiente documento y a las referencias que contiene: http://msp.org/pjm/1976/62-1/pjm-v62-n1-p25-p.pdf
