En pocas palabras, la derivación de la Stiefel-Whitney y las clases de Chern de un (digamos) en un espacio cerrado $X$ es de la siguiente manera: Para $k = {\mathbb{R}}$ o $\mathbb{C}$ cualquier $k$-línea bundle $\xi \to X$ es el pullback $f^*\gamma$ de la tautológica bundle $\gamma \to k\mathbb{P}^\infty$; y desde $k{\mathbb{P}}^\infty$$K(\pi, n)$, el pullback $f^*[k\mathbb{P}^\infty]$ clasifica $\xi$ hasta homotopy. Para$k = \mathbb{R}$,$\mathbb{RP}^\infty = K(\mathbb{Z}_2, 1)$; y para $k = \mathbb{C}$,$\mathbb{CP}^\infty = K(\mathbb{Z}, 2)$. Así, en el caso real, tenemos una característica de la clase $w_1(\xi)\in H^1(X, \mathbb{Z}_2)$; y en el caso complejo, tenemos una característica de la clase $c_1(\xi)\in H^2(X, \mathbb{Z})$. Para un general bundle $\xi \to X$, podemos utilizar el principio de separación para definir las clases de $w(\xi)\in H^*(X, \mathbb{Z}_2)$$c(\xi)\in H^{2*}(X, \mathbb{Z})$.
Esta construcción parece depender de la aparente coincidencia que $\mathbb{RP}^\infty$ $\mathbb{CP}^\infty$ son tanto de Eilenberg-MacLane espacios. Por lo tanto, tengo una pregunta:
Podemos realizar el análogo de la construcción para quarternionic línea de paquetes (a menos que me equivoco) y de manera similar a mostrar que todos son pullbacks de la tautológica de la línea de paquete de $\gamma\to \mathbb{HP}^\infty$. Por desgracia, $\mathbb{HP}^\infty$ no es un $K(\pi, n)$. Hay un análogo de la Stiefel-Whitney o de Chern de la clase que clasifica quaternionic haces; y si es así, ¿cómo es derivada?
Mis disculpas de antemano por la vaguedad de la pregunta. (Algo así como, "Ir a leer [libro]" es totalmente una respuesta válida.)
