Puede alguien por favor me ayude a probar esta..
Deje $p$ mayor que o igual a $1$, muestran que el espacio de todas las $p$-summable secuencias es un producto interior espacio si y sólo si $p=2$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Suponiendo que estamos trabajando con la norma habitual (como el Op dijo en los comentarios), supongamos $\ell_{p}$ es un espacio de Hilbert. Por lo que su debe satisfacer para todos $u,v$: $$2||u||_{p}^2 + 2||v||_{p}^2 = ||u + v||_{p}^2 + ||u - v||_{p}^2$$.
Como sugiere martini, tome $u=e_{1}=(1,0,...,0,...)$$v=e_{2}=(0,1,0,...,0,...)$. Por lo tanto, por la última igualdad, tenemos $$4=2^{\frac{2}{p}}+2^{\frac{2}{p}}$$
Ahora usted puede resolver la última desigualdad y compruebe que $p=2$.
Por otro lado, si $p=2$, se puede comprobar fácilmente que $\ell_{2}$ es un espacio de Hilbert.
