Existe una secuencia racional que converge a $\sqrt3$

Question

Tengo una prueba de esto, pero estoy bastante seguro de que no es lo que era de esperar en el examen. Además, esta prueba parece realmente desacoplados y no-kosher.

Debido a la densidad de la raitonals en los reales, existe un $q\in\mathbb{Q}$ tal que $\sqrt3-\frac1 n < q < \sqrt3$

Para cada n, vamos a $a_n = q$. ($\sqrt3-\frac1 n < a_n < \sqrt3$)

Así para n=1. Existe una $q$ tal que $\sqrt3-1 < q < \sqrt3$. Elija esta q para $a_1$

Para n=2, elija $q$ tal que $\sqrt3-\frac1 2 < q < \sqrt3$.

Desde $\sqrt3-\frac1 n$ converge a $\sqrt3$, $a_n$ también debe converger a $\sqrt3$.

Así estamos construyendo una secuencia de cosas que sólo se conoce de la existencia de. También hace esto requiere el axioma de elección?

De todos modos, en el examen no fue una sugerencia de "considerar la posibilidad de $S = \{r\in\mathbb{Q}|r>0 \,\mathrm{and}\,r^2<3\}$" Y yo no soy exctly seguro de qué hacer con ella, aparte del hecho de que $\sup S = \sqrt 3$

Edit: Para ser específico acerca de mi pregunta, es esto una prueba de aceptar? Y ¿cuál es el estándar de la prueba (la prueba de que mi profe estaba dando a entender)?

Answer 1

La existencia de tal secuencia no requiere el axioma de elección.

Primera nota de que siempre se puede enumerar la racional y sólo tiene que elegir la menos racional (en la enumeración) en el intervalo de $(\sqrt3-\frac1n,\sqrt3)$.

Pero también tenga en cuenta que si usted escribe $\sqrt3=1.d_1d_2d_3\ldots$, luego de truncar los dígitos en el $n$-ésimo lugar de los rendimientos de un número racional, y claramente esta es una secuencia de acercarse $\sqrt3$.

Answer 2

1. Así, la citada prueba se basa en el hecho de que 'Debido a la densidad de la raitonals en los reales', y esto en otras palabras, en todos los espacios métricos, significa que para cualquier punto hay una secuencia desde el denso conjunto (ahora $\Bbb Q$) que converge allí... Bueno, ok, prueba de la densidad de $\Bbb Q$ no es tan difícil, pero yo diría que, es necesario de antemano..
2. Un clásico de la prueba, que trabaja para cualquier número real $s$, es que redactamos $s$ en fracción decimal formato, y en el $n$-ésimo paso que mantener sólo el primer $n$ dígitos, es decir, $s_n:= \displaystyle\frac{[10^n\cdot s]}{10^n}$
3. Y la solución de lo que se insinuó.. si ya sabes que $\sup S=\sqrt 3$, entonces estás hecho, porque también significa que, para cada $\varepsilon$ (en particular para $\varepsilon=1/n$, hay un elemento $r\in S$ tal que $r < \sqrt 3 < r+\varepsilon$

Answer 3

.... o pruebe la iteración de Newton para resolver $f(x) := x^2-3 = 0$. Comenzar con, digamos, $x=x_0=2$. Entonces $x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)=2-1/4=7/4$; $x_2=7/4-(1/16)/(7/2)=97/56$; y así sucesivamente.

Answer 4

Creo que sería más bien de construir una secuencia: use la fórmula de Taylor para $\sqrt{1+3}$.

Answer 5

Escribir la continuación de la fracción $[a_0, a_1,a_2 \cdots ]$$\sqrt{3}$. Resulta ser periódicas $[1; 1,2, 1,2, \cdots ]$. A continuación, la secuencia $\frac{p_k}{q_k}$ converge a $\sqrt{3}$, donde $q_0=a_0=1$, $q_0=1$,

$p_1=a_0 a_1+1=2$, $q_1=a_1=1$ y, a continuación, de forma recursiva

$$ p_k=a_k p_{k-1}+p_{k-2}$$

$$q_k=a_k q_{k-1} +q_{k-2} $$

por ejemplo, $$\frac{p_2}{q_2}=\frac{5}{3}$$