Mostrando que $\lim_{k\rightarrow 0}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}$

Question

Así que estoy tratando de mostrar que:

$$\lim_{k\rightarrow 0}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}$$

Supongo que esto se reduce a una sólida comprensión de la convergencia uniforme.

También hay una segunda cuestión que el teorema de la Rudin del PMA, que trata del cambio de una integral definida y un límite dice que la secuencia de integrands deben converger al límite integrando de manera uniforme en un intervalo cerrado, en este caso que sería $[0,1]$. Pero, por supuesto, nuestra función sólo está definida en $[0,1)$, por lo tanto debo estar considerando el intervalo de $[0,1-\epsilon]$?

Tan lejos como la demostración de convergencia uniforme, estaba mirando en la secuencia:

$$M_{a_n} = \sup_{x\in [0,1-\epsilon]}|\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(a_n)^2x^2)}} - \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}|$$

para cualquier secuencia $a_n\rightarrow 0$.

Y tratando de demostrar que la secuencia de $M_{a_n}$ va a cero, pero no parece que después de sacar el factor de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Para resumir, este problema con sus complejidades, es sólo un poco más allá de mi nivel de comprensión y consuelo con el análisis. Podría alguien ayudarme a ordenar a través de ella? Gracias.

Answer 1

Lo que quiero mostrar es que $$\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\to \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ en uniformemente $[0,1-\epsilon]$ todos los $\epsilon>0$ y que $$\lim\limits_{\epsilon\to 0}\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\to \int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$$ uniformly in $k$. El primer hecho que nos da $$\lim\limits_{k\to 0}\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ para todos los $\epsilon>0$, y dado que la integración continua $$\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ mientras que la adición de la segunda da $$\lim\limits_{\epsilon\to 0}\lim\limits_{k\to 0}\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=\lim\limits_{k\to 0}\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$$ y a partir de estas tres igualdades se puede concluir que el resultado deseado.

Para probar el primer hecho, se nota que $$\begin{align} \sup_{x\in [0,1-\epsilon]}\left|\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right| &\le\left(\sup_{x\in [0,1-\epsilon]}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\sup_{x\in [0,1-\epsilon]}\left|\frac{1}{\sqrt{1-k^2x^2}}-1\right|\\ &\le\left(\sup_{x\in [0,1-\epsilon]}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\left|\frac{1}{\sqrt{1-k^2(1-\epsilon)^2}}-1\right|\to 0\\ \end{align}$$ dando convergencia uniforme. Para el segundo hecho, tenga en cuenta que $$\int_{1-\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\le \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\int_{1-\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\int_{0}^1\chi_{[1-\epsilon,1]}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ donde $\chi_{[1-\epsilon,1]}$ es el indicador de la función para el intervalo de $[1-\epsilon,1]$. La función de $\chi_{[1-\epsilon,1]}(x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ converge pointwise a$0$, excepto en $x=1$ y está dominado por $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ que ha integral de tiempo finito, por lo tanto por el Teorema de Convergencia Dominada vemos que $\int_{1-\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\to 0$. Si estamos obligados $k$ bajo $1$ (es decir $k\le 1/2$) vemos que $$\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\int_{1-\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\leq \frac{4}{3}\int_{1-\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\to 0$$ lo que es claramente uniforme en $k$.