Verificación de la prueba : Demuestre que -(-a)=a utilizando sólo los axiomas del campo ordenado

Question

Necesito demostrar para todos los números reales $a$ , $-(-a) = a$ utilizando únicamente los siguientes axiomas:

Gracias a muchos miembros de la Comunidad de Matemáticas Stackexchange, tengo la siguiente prueba elaborada:

Teorema: La identidad inversa aditiva es única

$ ( \forall a,b,c \in \mathbb{R} )(a+b=0) \land (a+c=0) \\ ( \forall a,b,c \in \mathbb{R} )(a+b=a+c) \\ ( \forall a,b,c \in \mathbb{R} )(b=c) \\ \text{QED} \\ $

Teorema $\textbf{a} \cdot \textbf{0 = 0}$

$ \begin{align} a \cdot 0 &= a \cdot 0 \\ a \cdot (0 + 0) &= a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + a \cdot 0 &= a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 &= a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 \\ a \cdot 0 &= 0 \\ &\text{QED} \\ \end{align} $

Teorema: $-\textbf{1} \cdot \textbf{(a) = (}-\textbf{a)}$

$ \begin{align} a \cdot 0 &= 0 \\ a \cdot \left[ 1 + (-1) \right] &= a + (-a) \\ 1 \cdot a + (-1) \cdot a &= a + (-a) \\ -1 \cdot (a) &= (-a) \\ &\text{QED} \\ \end{align} $

Teorema: $-\textbf{(}-\textbf{a) = a}$

$ \begin{align} 0 &= 0 \\ -a \cdot 0 &= 0 \\ -a \cdot \left[ 1 + (-1) \right] &= 0 \\ -a \cdot 1 + -a \cdot (-1) &= 0 \\ -a + \left[ -(-a) \right] &= 0 \\ -(-a) &= a \\ \text{QED} \\ \end{align} $

¿Se ve todo bien? ¿Me he perdido algo?

Además, ¿por qué es necesario demostrar que la inversa aditiva es única?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Un comentario extenso:

1. Si quieres una verificación de la prueba tiene sentido que numeres tus ecuaciones para que sean fáciles de referenciar. Puedes utilizar \$\tag{1}\$ en el código de la ecuación y la referencia como \$(1)\$ .
2. Comienza y termina tus bloques LaTeX con \$\$ y no con \$.

Hagamos $$ \begin{align} a \cdot 0 + a \cdot 0 &= a \cdot 0 \tag{1.1}\\ a \cdot 0 + a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 &= a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 \tag{1.2}\\ a \cdot 0 &= 0 \tag{1.3}\\ \end{align} $$ más preciso, entonces tiene $$ \begin{align} a \cdot 0 + a \cdot 0 &= a \cdot 0 \tag{2.1}\\ (a \cdot 0 + a \cdot 0 )+ (-a) \cdot 0 &= a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 &\text{(you have to use parantheses)}\tag{2.2}\\ a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a) \cdot 0) &= a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 & \text{(by associativity of +)} \tag{2.3}\\ a \cdot 0 + ((a+(-a)) \cdot 0 &= ((a+(-a)) \cdot 0 &\text{(by distributive law)}\tag{2.4}\\ a \cdot 0 + 0 \cdot 0 &= 0 \cdot 0 &\text{(by law of inverse)}\tag{2.5}\\ a \cdot 0 +0&= 0 & \text{(because }0\cdot0=0 \text{)}\tag{2.6}\\ a \cdot 0 &= 0& \text{0 is identity element of +} \tag{2.7}\\ \end{align} $$

Para conseguir $(6)$ que usas todavía una identidad no probada: $$0\cdot 0=0 \tag{3.1}$$

Es más sencillo proceder de la siguiente manera $$ \begin{align} a \cdot 0 + a \cdot 0 &= a \cdot 0 \tag{4.1}\\ (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-( a \cdot 0)) &= a \cdot 0 + (-( a \cdot 0)) &\text{(you have to use parantheses)}\tag{4.2}\\ a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-( a \cdot 0))) &= a \cdot 0 + (-( a \cdot 0)) & \text{(by associativity of +)}\tag{4.3}\\ a \cdot 0 + 0 &= 0 & \text{(inverse element)}\tag{4.4}\\ a \cdot 0 &= 0& \text{(0 is identity element of +)} \tag{4.5}\\ \end{align} $$

Esta última prueba es más corta y completa. La primera prueba carece de la prueba de $(3.1)$ .

Editar

He olvidado la parte más importante de mi respuesta.

Ha demostrado que en un campo con operaciones + y $\cdot$ tenemos $$-(-a)=a$$ utilizando la ley distributiva. Pero tenemos $$ \begin{align} a+(-a)&=0 &\text{right inverse of }a\tag{5.1}\\ (-(-a))+(-a)&=0& \text{left inverse of }(-a) \tag{5.2}\\ a+(-a)&=(-(-a))+(-a) &\tag{5.3}\\ (a+(-a))+a&=((-(-a))+(-a))+a & \tag{5.4}\\ a+((-a)+a)&=-(-a)+((-a)+a) & \text{associativity}\tag{5.5}\\ a+0&=-(-a)+0 & \text{left inverse}\tag{5.6} \\ a &= -(-a) & \text{identity}\tag{5.7} \\ \end{align}$$ Por lo tanto, no es necesario un $\cdot$ para mostrar esta propiedad de la inversa de la $+$ operador. Por lo tanto, podemos decir

Si $(G,+)$ es un grupo y $-g$ la inversa de $g \in G$ entonces $-(-g)=g$

Y de esto se desprende inmediatamente

Si $(G,\cdot)$ es un grupo y $g^{-1}$ la inversa de $g \in G$ entonces $(g^{-1})^{-1}=g$

Así que de sus Axiomas se desprende: $$-(-a))=a,\; (a^{-1})^{-1}=a\tag{6.1}$$

$(6.1)$ ya se deduce de P1,P2,P3,P5,P6,P7