Esta es una pregunta relativa a una pregunta anterior de la mina:
He estado leyendo acerca de invariantes topológicos. Algunos de ellos se definen en términos de formas cuadráticas.
Mi comprensión actual es: podemos convertir un espacio topológico $X$ en un módulo por cualquiera de sus homologías y una vez que tenemos un módulo se define una forma bilineal en $H_i(X)$. Por ejemplo, si estamos dando los primeros homología podemos definir una forma bilineal definiendo $x \cdot y$ a ser la intersección de dos representantes de la $x,y$ donde $[x], [y] \in H_1 (X)$. Entonces esto nos da una forma cuadrática $Q(x) = \frac{1}{2} x \cdot x \mod 2$. Podemos utilizar si queremos demostrar que las dos espacios topológicos son no homeomórficos de la siguiente manera: elegir un simpléctica base $a_i, b_i$ para el espacio (sabemos que esa base siempre existe). A continuación, definimos $A(Q) = \sum_i Q(a_i) Q(b_i)$. Si esto se evalúa a$0$, en un espacio y a $1$ en el otro sabemos que los dos espacios no son homeomórficos.
Pregunta 1: Es mi actual comprensión correcta? O me estoy perdiendo algo?
Pregunta 2: entiendo cómo definir una forma bilineal si me tome la primera a la homología. Pero esto podría no conducir a ninguna parte, porque aunque los dos espacios podrían ser no homeomórficos, su primer homología de grupos todavía podría coincidir. Así que yo podría tomar una mayor homología. ¿Cómo puedo definir una forma bilineal para el $k$-th homología y ¿cuál es el sentido geométrico?
Pregunta 3: he encontrado este artículo de la Wikipedia sobre la intersección de las formas. Aunque estoy bastante seguro de que la "intersección de la forma" es otra forma bilineal como la intersección de número para la primera homología, estoy confundido acerca de por qué sólo pude encontrar información adicional acerca de la $4$-colectores. Lo que es especial acerca de $4$-colectores? Me equivoco al suponer que yo pueda dotar a cualquier espacio topológico con una forma bilineal?
Pregunta 4: hacemos esto $\mathbb Z / 2$ por comodidad, a la derecha? Porque nos permite ignorar la orientación. Pero también podríamos considerar formas bilineales sobre cualquier otro campo, es esto correcto?
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Pregunta 5: la dualidad de Poincaré nos da una manera de definir una intersección de emparejamiento sin demasiado desagradable jugueteando si el espacio topológico $X$ es un cerrado orientado al colector. Pero ¿cuáles son los absolutos de los requisitos mínimos en $X$ con el fin de ser capaz de definir una intersección en forma?
Gracias por tu ayuda.
