¿Por qué es una proyección de la matriz simétrica?

Question

Estoy buscando una razón intuitiva para una matriz de proyección de una proyección ortogonal a ser simétrica. La prueba algebraica es sencillo, pero de cierta forma satisfactoria.

Tomemos, por ejemplo, en otro la propiedad: $P=P^2$. Es claro que la aplicación de la proyección una vez más no se debe cambiar nada y por lo tanto de la igualdad.

Así que ¿cuál es la razón detrás de $P^T=P$?

Answer 1

En general, si $P = P^2$, $P$ es la proyección en $\operatorname{im}(P)$ a lo largo de $\operatorname{ker}(P)$, por lo que $$\mathbb{R}^n = \operatorname{im}(P) \oplus \operatorname{ker}(P),$$ but $\operatorname{im}(P)$ and $\operatorname{ker}(P)$ need not be orthogonal subspaces. Given that $P = P^2$, you can check that $\operatorname{im}(P) \asesino \operatorname{ker}(P)$ if and only if $P = P^T$, lo que justifica la terminología de "proyección ortogonal."

Answer 2

En el caso simple donde $P$ es la proyección en una línea con vector unitario $\vec{e}$, se puede mirar como esta: si $\theta$ es el ángulo entre el$x$$\vec{e}$, e $\varphi$ es el ángulo entre el$y$$\vec e$, tenemos:

$$\langle Px,s \rangle = \langle \|x\| \cos{\theta \vec{e}},s \rangle = \|x\|\cos{\theta}\langle \vec{e},s \rangle = \|x\|\cos{\theta}\|s\|\cos{\varphi} \\ \langle x, Py \rangle = \langle x,\|s\|\cos{\varphi}\vec{e}\rangle = \|s\| \cos {\varphi} \langle x,\vec{e} \rangle = \|s\|\cos{\varphi}\|x\| \cos{\theta}.$$

(Recordemos que $P$ es simétrica iff $\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle$ todos los $x,y \in V$.)

Otra razón: Dada una proyección ortogonal o no), podemos describirlo como la proyección de a $A$ a lo largo de $B$ (o $\rho_{A,B}$), donde $A$ $B$ son subespacios complementarios. Es decir, si $V = A \oplus B$, tomar una base para el espacio vectorial que pasa a través de los subespacios $A$$B$. Entonces la acción de la $P = \rho_{A,B}$ es establecer el $B$-coordenadas iguales a cero, y dejar el $A$ coordenadas de la virgen. Cada proyección es de esta forma, y a sabiendas de $A$ $B$ completamente caracteriza a la proyección. Una proyección es ortogonal iff $B = A^\perp$.

Es un ejercicio en el álgebra de interior de productos para demostrar que si $P = \rho_{A,B}$, $P^T = \rho_{B^{\perp}, A^{\perp}}$ (no importa si $P$ es ortogonal o no). Así que si $P$ es una proyección ortogonal y $A = B^{\perp}$, podemos ver que $\rho_{B^{\perp}, A^{\perp}} = \rho_{A,B}$, e $P$ es simétrica.