Encontrar todos los polinomios $\sum_{k=0}^na_kx^k$ donde $a_k=\pm2$ o $a_k=\pm1$, e $0\leq k\leq n,1\leq n<\infty$, de tal forma que sólo tiene ceros reales

Question

Encontrar todos los polinomios $\sum_{k=0}^na_kx^k$ donde $a_k=\pm2$ o $a_k=\pm1$, e $0\leq k\leq n,1\leq n<\infty$, de tal manera que sólo tienen real ceros.

He estado pensando acerca de esta pregunta, pero he llegado a la conclusión de que no tengo el requisito de conocimientos matemáticos para responder a ella.

Un adicional, la menos importante cuestión. No estoy seguro de que este problema es de. Puede alguien encontrar una fuente?

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Lo siento, tengo una petición. Si esto puede ser evaluado computacionalmente, ¿me puedes mostrar un lápiz y papel a la manera de hacerlo?

Answer 1

Deje $\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n$ las verdaderas raíces. Sabemos que:

$$\sum \alpha_i^2=( \sum \alpha_i )^2-2\sum \alpha_i\alpha_j= \left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)^2-2\left(\frac{a_{n-2}}{a_n}\right)\le 8$$

Por otro lado, por AM-GM de la desigualdad:

$$\sum \alpha_i^2\ge n \sqrt[n]{|\prod\alpha_i|^2}=n\sqrt[n]{\left|\frac{a_0}{a_n}\right|^2}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{4}}$$

Por lo $8\ge n \sqrt[n]{\frac{1}{4}} \Rightarrow n\le9$. El resto es finito suficiente.