Problemas con las derivadas termodinámicas

Question

¿Cómo es de cierto lo siguiente?

$$\left ( \frac{S}{P} \right )_{T}=\frac{-C_{P}}{T}\left ( \frac{T}{P} \right )_{S}$$

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Sé que

$$C_{P}=T\left ( \frac{S}{T} \right )_{P}$$

lo que significa que el lado derecho de la primera ecuación se convierte en

$$-\left ( \frac{S}{T} \right )_{P}\left ( \frac{T}{P} \right )_{S}$$

pero ¿cómo es eso igual a $\left ( \frac{S}{P} \right )_{T}$ ?

Answer 1

Es una consecuencia de la regla del triple producto para las derivadas parciales de las variables de estado termodinámicas.

En resumen, si usted tiene tres interdependientes (no independiente ), entonces esto es cierto:

$$ \left ( \frac{\partial{X}}{\partial{Y}} \right )_Z \left ( \frac{\partial{Z}}{\partial{X}} \right )_Y = - \left ( \frac{\partial{Z}}{\partial{Y}} \right )_X $$

Sustituyendo en sus variables, si dejamos que $X = T$ , $Y = P$ y $Z = S$ obtenemos:

$$ - \left ( \frac{\partial{S}}{\partial{T}} \right )_P \left ( \frac{\partial{T}}{\partial{P}} \right )_S = \left ( \frac{\partial{S}}{\partial{P}} \right )_T $$

Nótese que el orden de multiplicación de las dos derivadas parciales no importa.

Ahora, por qué esta regla es válida para las variables termodinámicas es un poco más complicada - pero creo que el artículo de la wikipedia que he enlazado tiene una derivación bastante buena si estás interesado.