Prueba de épsilon Delta x acerca a infinito

Question

Tengo una función racional que llega a una asíntota horizontal como x el infinito de los acercamientos. Cómo harías una prueba delta-epsilon con $x\to\infty$.

Aquí está la declaración de límite:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+7}{2x-1} = \frac{3}{2}.$$

Espero que alguien puede ayudar.

Paulo

Answer 1

Indirecta: cuando se utiliza el % de convergencia $\epsilon$$\delta$% #% definición, parece que \forall \epsilon $$ > 0\; \exists\delta\in\mathbb R: \;x > \delta\implies |f(x) - un | \leq\epsilon. $$ En su caso $\lim_{x\to\infty }f(x) = a$ y $f(x) = \frac{3x+7}{2x-1}$, para que cualquier $a = \frac32$ usted tiene que encontrar $\epsilon>0$ s.t. suficientemente grande $$ \left|\frac{3x+7}{2x-1}-\frac32\right|\leq\epsilon \tag{1} $$ % todos $\delta$. Es decir, sugiero que resolver la desigualdad $x>\delta$ $(1)$.

Answer 2

Normalmente, las pruebas como algo acerca a infinito no se enmarcan como $\epsilon$$\delta$pruebas a todos. $\delta$ termina consiguiendo sustituido por alguna otra letra. Sin embargo... la línea verdadera extendida es homeomorfa a $[0,1]$, por lo que podría imponer la métrica correspondiente a él, y luego tienes una noción significativa de cuánto un número dado es o $\infty$ $-\infty$.

Answer 3

Será mucho más fácil para hacer esta prueba después de ir a través de la división de polinomios. En otras palabras, podemos escribir que $$ \frac{3x+7}{2x-1}=\frac{(3/2)(2x-1)+17/2}{2x-1}=\frac32+\frac{17}{2(2x-1)} $$ Después de eso, la prueba equivale simplemente a mostrar que la $f(x)=\frac{17}{2(2x-1)}$ se aproxima a cero. Es decir, queremos mostrar que $\forall \epsilon>0\;\exists\delta>0: \;x>\delta\implies |f(x)|<\epsilon$. Donde normalmente tienen un $|x-c|<\delta$, ahora sólo han $x>\delta$ ya que nuestro objetivo es mostrar que el mayor $x$ recibe (es decir, el más cercano a infinito), el menor $f$ (nuestra diferencia) obtiene.

De hecho, la selección de $\delta=\max\{\frac14(2+17/\epsilon),1\}$, y observando que $f$ está disminuyendo en la $x>1/2$, tenemos la desigualdad: $$ |f(x)|=\left|\frac{17}{2(2x-1)}\right|=\frac{17}{2(2x-1)}\\ <\frac{17}{2(2(\frac14(2+17/\epsilon))-1)}=\cdots=\epsilon\\ $$

Que completa la prueba.