¿Cómo definir la distribución de una variable aleatoria $Y$ tal que un empate en $Y$ tiene correlación $\rho$ $x_1$, donde $x_1$ es un proyecto único de una distribución con función de distribución acumulativa $F_{X}(x)$?
Respuesta
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Usted puede definir en términos de un mecanismo de generación de datos. Por ejemplo, si $X \sim F_{X}$ y
$$ Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z $$
donde $Z \sim F_{X}$ y es independiente de $X$, entonces,
$$ {\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$$
También tenga en cuenta que ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ desde $Z$ tiene la misma distribución que $X$. Por lo tanto,
$$ {\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho $$
Así que si usted puede generar los datos de $F_{X}$, puede generar una variable aleatoria, $Y$, que tiene una correlación especificado $(\rho)$$X$. Nota, sin embargo, que la distribución marginal de $Y$ sólo se $F_{X}$ en el caso especial donde $F_{X}$ es la distribución normal (o algún otro aditivo de distribución). Esto es debido al hecho de que las sumas de variables normalmente distribuidas son normales; que no es una propiedad general de las distribuciones. En el caso general, usted tendrá que calcular la distribución de $Y$ mediante el cálculo de la (escala adecuada) de convolución de la densidad correspondiente a $F_{X}$ con sí mismo.
