¿Variables aleatorias forman una categoría de la coma?

Question

Pregunta: ¿las variables aleatorias formar un ejemplo de una coma categoría?

Intento: Deje $(M_i, \mathscr{F}_i, \mu_i)$ denotar una arbitraria medida del espacio ($M_i$ es el conjunto de puntos, $\mathscr{F}_i$ $\sigma$- álgebra, y $\mu_i$ es la medida), y deje $(X, \mathscr{G})$ ser medibles espacio (es decir, no hay opción de medir).

Si dejamos $\mathscr{M}$ denotar la categoría de medir los espacios y $\mathcal{M}$ denotar la categoría de medibles espacios, entonces es evidente que existe una olvidadizo functor $\mathscr{M} \to \mathcal{M}$, que olvida la elección de la medida.

Si tenemos en cuenta $(X,\mathscr{G})$ con la identidad del ser (un objeto, una morfismos) categoría, entonces es trivialmente una subcategoría de $\mathcal{M}$ y por lo tanto tenemos una obvia inclusión functor $(X,\mathscr{G}) \to \mathcal{M}$.

Usando la notación de la nLab página en coma categorías, $C$ es la categoría de la medida de los espacios $\mathscr{M}$, $D$ es la trivial categoría $(X, \mathscr{G})$, $E$ es la categoría de espacios medibles $\mathcal{M}$, $f$ es el olvidadizo functor $\mathscr{M} \to \mathcal{M}$, e $g$ es la inclusión functor $(X, \mathscr{G}) \to \mathcal{M}$.

Los objetos que se podrán medir las funciones de $\psi:(M_i,\mathscr{F}_i, \mu_i) \to (X,\mathscr{G})$ o (tal vez de forma equivalente) las medidas inducida en $(X,\mathscr{G})$ través $\psi$, es decir,$\mu_i \circ \psi^{-1}$, o el resultado de medir el espacio $(X, \mathscr{G}, \mu_i \circ \psi^{-1})$.

En particular, podemos restringir $\mathscr{M}$ a ser la subcategoría de probabilidad de espacios, y tome $(X,\mathscr{G})$ $\mathbb{R}$ con el Borel $\sigma$-álgebra -- entonces los objetos de la categoría son variables aleatorias, y (creo) de dos variables aleatorias son isomorfos en la categoría si y sólo si tienen la misma distribución.

La formulación más general en términos de la medida y medibles espacios anteriormente puede permitir que esto se extiende a aleatoria de las medidas, procesos estocásticos, y otros.

Esto es casi una rebanada categoría, excepto que nuestro agnosticismo con respecto a la medida en $(X, \mathscr{G})$ nos obliga a considerar como un elemento de la categoría de espacios medibles $\mathcal{M}$ más que un elemento de la categoría de medida espacios de $\mathscr{M}$, lo que nos obligó a recurrir a la más general de la coma categoría, en lugar de una rebanada de la categoría.

Answer 1

Estoy un poco perdido en cuanto a donde usted está tratando de ir con esto, así que voy a expresar mis pensamientos sobre el asunto, con la esperanza de que ellos son relevantes. (aunque tal vez este post lo dice todo, mejor)

En primer lugar, las flechas son importantes, y si seguimos a nuestra nariz nos encontramos con la categoría de medida de los espacios es una especie de extraña cosa — lo que realmente queremos es una categoría cuyas flechas son las funciones medibles, lo que significa que la categoría de $\mathcal{M}$ de los espacios medibles es realmente lo que se debe principalmente interesado en.

En $\mathcal{M}$, no es un functor $X \mapsto \operatorname{Meas(X)}$ (el nombre no es una norma) que se envía un espacio medible $X$ para el conjunto de las medidas que se pueden definir en él, y envía un mapa de $\Phi:X \to Y$ para el pushforward función de $\mu \mapsto \Phi_* \mu$.

La categoría de $\mathscr{M}$ de medida espacios es, creo, la categoría de elementos de $\operatorname{Meas}$, lo que refuerza mi punto de vista que debe ser entendido como el functor $\operatorname{Meas}$ más que como la categoría de $\mathscr{M}$.

Al azar, con un valor real de la variable en una medida de espacio $X$ no es nada más que un medibles, con un valor real de la función del subyacente medibles espacio; es decir, $\mathcal{M}(X, \mathbb{R})$. La forma natural de organizar a ellos a través de todos los espacios es a través de lo representable presheaf $\mathcal{M}(-, \mathbb{R})$.

Dicho esto, usted puede tomar la categoría de elementos, que es equivalente a la división de la categoría $\mathcal{M} / \mathbb{R}$, pero una vez más que es una especie de extraña manera de organizar los datos.

Así que sí, si realmente te gusta expresar las cosas en términos de categorías de elementos, se puede combinar la proyección de $p : \mathscr{M} \to \mathcal{M}$ con el sector por $\mathbb{R}$ (que en sí es la coma categoría $(\mathcal{M} \downarrow \mathbb{R})$) para obtener la coma categoría $(p \downarrow \mathbb{R})$, pero es una especie de extraña manera de expresar las cosas.

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Por cierto, si mal no recuerdo, para cualquier espacio medible $(X, \mathscr{G})$, $\mathscr{G}$ es una configuración regional, y usted puede incluso utilizar ultrafilters para la construcción de un espacio topológico $(S_\mathscr{G}, \mathscr{G})$, por lo que las funciones medibles $(X, \mathscr{G}) \to \mathbb{R}$ son precisamente las funciones continuas $(S_\mathscr{G}, \mathscr{G}) \to \mathbb{R}$.

Si usted construir el correspondiente topos de poleas $\mathcal{E} = \operatorname{Sh(\mathscr{G})}$, luego por la costumbre de los hechos acerca de las poleas en espacios topológicos, su número real objeto de $\mathbb{R}_\mathcal{E}$ es la gavilla de valor real funciones continuas en $\mathscr{G}$.

En particular, si equipamos a $\mathscr{G}$ con una probabilidad de medida $\mu$, entonces los números reales objeto de $\mathbb{R}_\mathcal{E}$ es, precisamente, el álgebra de los verdaderos valores de las variables aleatorias en $(X, \mathscr{G}, \mu)$.