Olimpiada - secuencia de suma de números complejos

Question

Este es el otro problema que no podía resolver en el examen de Olimpiada que tomé hoy.

Sea $c_1, ... , c_n$ números complejos y norma unitaria, $S_k=\sum_{i=1}^n c_i^k$, $k\in \mathbb{N}$. Supongamos que $S_1, S_2, ...$ converge. Demostrar que $c_i=1$ cada $i=1, ..., n$.

Mediante el uso de fórmula de Moivre, el problema es equivalente a indicar que $\cos(k\theta_1) + ... +\cos(k\theta_n)$ no tiene límite de $k\to\infty$ a menos que todos los %#% de $\theta_i$ #% (mod $0$) (y un reclamo análogo por la suma de los senos).

No sé probar.

Answer 1

Yo no he hecho olimpiadas, así que no estoy seguro si esta es la intención de método.. pero de todos modos... podemos suponer sin pérdida de generalidad que no $c_i = 1$, y en los que estamos trabajando por inducción y conocer el resultado de $n-1$ y la buscan para $n$ ($n=1$ es trivial.)

Un hecho que a menudo es útil es que si una secuencia $a_1,a_2,...$ converge, entonces los medios de $b_m = {1 \over m}( a_1 + ... + a_m) $ convergen al mismo límite. Aplicación a la secuencia de $S_1, S_2,...$, el promedio $T_m = {1 \over m}\sum_{k=1}^m (\sum_{i=1}^n c_i^k) = \sum_{i=1}^n {1 \over m}(\sum_{k=1}^m c_i^k)$ también convergen a $L:=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}S_k$. Pero la suma de ${1 \over m} (\sum_{k=1}^m c_i^k) $ se pueden sumar directamente como una serie geométrica a ${1 \over m}{c_i^{m+1} - c_i \over c_i - 1}$. Como $m$ va al infinito este llega a cero. Por lo que el límite de $L$ debe ser cero.

Desde $S_1, S_2,..$ converge a cero y $|c_1| = 1$, $U_m := (c_1)^{-m}S_m$ también se va a cero. Pero $U_m$ es exactamente $1 + \sum_{i=2}^m (c_i/c_1)^m$. Así que la secuencia $U_m - 1 = \sum_{i=2}^m (c_i/c_1)^m$ converge a $-1$, contradiciendo la hipótesis de inducción.

Answer 2

He editado la respuesta dos veces sin eliminar las versiones anteriores, para mantener la historia de la respuesta y los comentarios transparente. Que hace que sea mucho más de lo que originalmente fue, pero si sólo estás interesado en el resultado final, el primer y último párrafos constituyen una forma concisa y completa la prueba.

Si $S_k$ converge, entonces las diferencias $\Delta S_k := S_{k+1} - S_k$ debe converger a cero. Por lo tanto las diferencias $\Delta^2 S_k := \Delta S_{k+1} - \Delta S_k$ debe también converge a cero, y así sucesivamente para $\Delta^n S_k$ todos los $n$. Pero $\Delta^n S_k = \sum_{i=1}^{n} (c_i - 1)^n c_i^k$. Puede haber uno o dos valores de $c_i$ para los que el valor absoluto de a $c_i - 1$ es máxima. Si sólo hay uno, el correspondiente plazo que dominan la suma de lo suficientemente grande $n$, en el sentido de que su valor absoluto es mayor que el valor absoluto de la suma de todas las otras contribuciones. Ya que este término sólo converge a cero si $c_i - 1 = 0$, se deduce que el $c_i = 1$ todos los $i$.

Si hay dos (conjugada) de valores máximos de $c_i - 1$, existe una combinación lineal de $S_k$ y su complejo conjugado en la que sólo uno de estos valores máximos se produce; si $S_k$ tenía un límite, por lo que su complejo conjugado y esta combinación lineal.

Edición en respuesta a kevincuadros la pregunta acerca de la combinación lineal de la parte:

En el intento de aclarar esto, ahora puedo ver por qué no se "consigue", porque yo no había pensado correctamente :-)

Lo que yo tenía en mente era esta: Si hay dos diferentes valores de $c_i$, con una máxima absoluta de valor de $c_i - 1$, que se conjuga. Ambas pueden ocurrir más de una vez; vamos a $\mu_1$ $\mu_2$ ser sus multiplicidades. A continuación, $\mu_1 S_k - \mu_2 S_k^\mathrm{*}$ contendrá uno de ellos con multiplicidad $\mu_1^2 - \mu_2^2$ y el otro con multiplicidad $\mu_1\mu_2 - \mu_2\mu_1=0$. Yo estaba pensando que podríamos razón por la que desde esta combinación lineal contiene sólo uno de los dos, podemos aplicar la prueba y, a continuación, argumentan que si $S_k$ tenía un límite, entonces así que $S_k^\mathrm{*}$ y cualquier combinación lineal de ellos. Pero ahora veo que eso no funciona porque podíamos tener $\mu_1=\mu_2$, y, por tanto,$\mu_1^2-\mu_2^2$, y que en caso de que ninguno de los dos iba a ocurrir en el que la combinación lineal, por lo que todavía tienen que lidiar con ese caso.

Así que en ese caso, las aportaciones de estos conjugados cancelar en la parte imaginaria y agregar en la parte real. Si $S_k$ es la convergencia, su parte real debe converger. Pero $(c_i - 1)^n c_i^k$ procede arbitrariamente cerca de ser real infinitamente a menudo; de modo que su parte real viene arbitrariamente cerca de $|c_i - 1|^n$ infinitamente a menudo, y por lo tanto, el argumento para el caso general lleva a través.

Para hacer la plena prueba más concisa, se puede olvidarse de que toda combinación lineal cosa y acaba de argumentar de la siguiente manera: Si hay dos valores distintos de $c_i$ con la igualdad de máximo valor absoluto de $c_i - 1$, que se conjuga. A continuación, tenga en cuenta la suma de las partes reales de sus contribuciones, que viene arbitrariamente cerca de la suma de sus valores absolutos infinitamente a menudo, y por lo tanto, el argumento para el caso general lleva a través.

Editar más para salvar el estilo de la prueba:

Realmente no me gusta la corrección anterior, debido a que parte de la punta de la prueba original fue para evitar decir algo como "x se arbitrariamente cerca y un número infinito de veces". Así que aquí está un poco más agradable revisión:

Si hay dos valores distintos de $c_i$ con la igualdad de máximo valor absoluto de $c_i - 1$, que se conjuga. A continuación, las partes reales de sus contribuciones suman a $|c_i-1|^n$ multiplicado por el coseno de un ángulo, que cambia con $k$. Ya que la relación de $|c_i-1|^n$ a el valor absoluto de la suma de todos los demás términos se extiende hacia el infinito con el aumento de la $n$, aumentando $n$ rendimiento arbitrariamente pequeño límites superiores en el coseno. Pero desde $c_i \neq \pm 1$, el coseno necesariamente viola estos límites. (Tenga en cuenta que esto no utilice la propiedad de que el coseno se pone arbitrariamente cercano a 1, sólo que no sigan arbitrariamente cercano a 0, lo cual es mucho menos y no requiere un argumento utilizando los números racionales e irracionales.)

Answer 3

Deje $c_i = \exp(2\pi i \alpha_i)$. Elegir una base $\beta_j$ (sobre los racionales) para todos los $\alpha_i$, de tal manera que en el resultado de la representación, el coeficiente de cada $\beta_j$ es integral, y los coeficientes de $\beta_j$ no tienen un común múltiplo.

Si hay cualquier racional $\beta_j$, vamos a $M$ ser el máximo coeficiente de $\beta_j$, y reemplace$c_i$$c_i^M$; ahora el "racional" de la parte de la suma es constante; ajustar la base de modo que las otras propiedades se siguen manteniendo. Nos puede quitar la base racional de miembros (si los hubiere) de la base.

Ahora, la construcción de una secuencia de $k$s $S_1$ tal que $\{k \beta_i\} \approx 0$, y otra secuencia de $k$s $S_2$ tal que $\{k \beta_1\} \approx 1/2$$\{k \beta_i\} \approx 0$$i \geq 2$. El límite de $S_1$ $S_2$ es diferente (ya que los coeficientes de $\beta_1$ son todos los números enteros y no todos aún); esta contradicción muestra que todos los coeficientes deben ser racional.

Ahora volver a la original $c_i$, y escribir $\alpha_i = p_i/q_i$. Si no todos los $\alpha_i$ $0$ elige el primer $Q$ dividiendo una de las $q_i$. Deje $M$ ser el mínimo común múltiplo de todos los $q_i$. Formar un nuevo grupo de $c_i$ reemplazando $c_i$$c_i^{M/Q}$. Ahora tenemos cualquiera de las $c_1 = 1$ o $c_i = p_i/Q$. Ahora para los múltiplos de $Q$$c_i^k = 1$, por lo que la suma es una constante $C$, mientras que para otra cosa, este no será el caso, y así, en particular, la parte real de la suma sea menor que $C$. Esta contradicción muestra que, de hecho, todos los $\alpha_i$ debe $0$, es decir, todos los $c_i$$1$.