¿$2^{1947}\times 5+1|2^{2^{1945}}+1$ Puede ser demostrado con la mano?

Question

Un largo fátima atrás, leí en un libro que sería fácil mostrar que la número de

$2^{1947}\times 5+1$ divide el número de Fermat $2^{2^{1945}}+1$

No sé, si el autor quiso decir, que se puede hacer a mano, o que se puede verificar rápidamente con un ordenador. Yo lo he hecho con PARI/GP, y este es realmente el caso.

Así que, me pregunto

Puede $2^{1947}\times 5+1\ |\ 2^{2^{1945}}+1$ se muestran en la mano ?

Si esto sería posible, podría ser demostrado fácilmente que $2^{1947}\times 5+1$ es primo con la mano, y esto podría funcionar incluso para los más grandes ejemplos.

Answer 1

Yo creo que el autor quiere decir que se podría verificar rápidamente con un ordenador. La mente de usted, incluso este es un trivial declaración, como $m=5\times2^{1947}+1$ ha 587 dígitos, y $F_{1945}=2^{2^{1945}}+1$ tiene demasiados dígitos para guardar en cualquier ordenador. Sierpinski se explica cómo hacerlo en las páginas 77 y 78 de su libro, Una Selección de Problemas en la Teoría de los Números:

Se define una secuencia $r_1,r_2,\dots$ por $r_1=2^2$, $r_{k+1}$ es $r_k^2$ de reducción en el modulo $m$. Usted demuestre (por inducción, pero es una propiedad estándar de la aritmética modular) que $m$ divide $2^{2^k}-r_k$$k=1,2,\dots$. Dejando $k=1945$, $m$ divide $F_{1945}-r_{1945}-1$. Todo lo que tienes que hacer es demostrar que $m$ divide $r_{1945}+1$.

Ahora para calcular el $r_{1945}$, plaza de 1944 números, cada uno con no más de 587 dígitos y, a continuación, dividir las plazas, teniendo cada uno de no más de 1175 dígitos, por $m$, lo que ha 587 dígitos. Que estaba dentro de las capacidades de un equipo en 1964, cuando Sierpinski publicó su libro, y por todo lo que sé es dentro de las capacidades de un teléfono inteligente, o tal vez incluso un reloj de pulsera, el día de hoy.