Motivación de las series infinitas

Question

¿Cuáles son algunas buenas formas de motivar el material sobre series infinitas que aparece al final de un típico curso de Cálculo II americano?

Mis alumnos en este curso suelen ser de bioquímica, informática, economía, negocios y física (con algunos compañeros de humanidades que toman el curso por diversión), no sólo de matemáticas.

En el pasado he tenido algunos problemas para motivar el material de la serie infinita a estos estudiantes. Por un lado, no encaja con el resto de Calc II, que trata de la integral. A lo largo de los años, he "convergido" en decirles que el punto principal de la unidad es la serie de Taylor y que el resto del material está ahí principalmente para que tengamos las herramientas que necesitamos para entender la serie de Taylor. Luego ilustro algunos de los muchos usos de las series de Taylor (principalmente la aproximación de funciones, a este nivel). Este enfoque funciona mejor que cualquier otro que se me haya ocurrido hasta ahora con respecto a conseguir que mis alumnos se interesen por las series infinitas, pero me parece que estoy vendiendo mal el resto del material al subordinarlo a las series de Taylor. ¿Alguien tiene otras formas de motivar las series infinitas que quiera compartir? (De nuevo, sólo un pequeño porcentaje de los estudiantes de mi clase son licenciados en matemáticas).

Antecedentes: El material de esta unidad suele consistir en secuencias, series básicas (como las geométricas y las telescópicas), una serie de pruebas de convergencia (por ejemplo, la prueba de la integral, la prueba de la razón, la prueba de la raíz), una introducción a las series de potencias, las series de Taylor y Maclaurin, y tal vez las series binomiales.

Answer 1

Gracias por todas las respuestas hasta ahora. He pensado en resumirlas para cualquier otra persona que pueda estar interesada en esta cuestión. Sin embargo, en lugar de seguir actualizando el resumen en la pregunta original, me parece mejor, desde el punto de vista organizativo, que el resumen aparezca en una respuesta de la wiki comunitaria que luego acepto para que aparezca al principio de la lista de respuestas.

1. Otros parecen estar de acuerdo en que centrarse en la serie Taylor es el enfoque correcto. Consulta las respuestas y los comentarios para ver las justificaciones.

2. Ejemplos de uso de series infinitas

   a. Generalidades: Las paradojas de Zenón

   b. Física: Utilizando la aproximación de Taylor de primer orden $\sin \theta \approx \theta$ al resolver la ecuación diferencial del péndulo

   c. Química: Ampliación de la ley de los gases ideales para aplicarla a situaciones de alta presión y baja temperatura

   d. Economía: El cálculo de los multiplicadores fiscales implica series geométricas

   e. Informática, 1: Varios usos de las funciones generadoras (ver ejemplos de robinhoode y Raphael)

   f. Informática, 2: Las series de Taylor intervienen en el análisis de errores de algunos métodos numéricos, como los de Newton-Raphson y la regla de Simpson.

   g. Matemáticas, 1: Las series de Taylor muestran que los cálculos que implican funciones como $e^x$ y $\sin x$ pueden calcularse utilizando sólo la suma, la resta, la multiplicación y la división.

   h. Matemáticas, 2: Series de potencias, y productos de Euler en la teoría de los números en particular, ya que la mayoría de las personas encuentran la teoría de los números intrínsecamente interesante tanto si tienen la formación como si no

   i. Matemáticas, 3: Las series de Taylor pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. (A menudo los estudiantes habrán visto una breve introducción a las ecuaciones diferenciales a principios del curso).

   j. Matemáticas, 4: Hay expresiones de series infinitas para constantes interesantes como $\pi$ y $e$ . Además, cualquier representación decimal no terminada de un número real es una serie infinita.

   k. Matemáticas, 5: Uso de polinomios de Taylor para aproximar integrales en integrales definidas. (Esto encaja bien en un curso como Cálculo II que dedica mucho tiempo a la integral).

3. Enlaces a otros recursos

   a. Gráficas de polinomios de Taylor que convergen a una función (respuesta de Brandon Carter)

   b. Gráficas de polinomios de Taylor en el plano complejo (comentario de Hans Lundmark sobre la respuesta de Brandon)

4. Otros

   a. Enfatizar la similitud de series e integrales impropias

   b. Destacar que la convergencia debe tratarse con cuidado. Utilice las series geométricas como forma de introducir los problemas de convergencia. Mencione que incluso Euler no siempre fue bueno en el manejo de la convergencia.

Answer 2

Aunque me cuesta un poco relacionarme con el problema (la serie era posiblemente la sección más interesante de Calc II para mí), puedo compartir algunas ideas sobre cómo mi profesora era capaz de hacer que parecieran interesantes. Utilizaba demostraciones de Mathematica en cada sección de nuestras clases de cálculo (también la tuve para Calc III), y encontré que la visualización de términos y sumas parciales ayudaba a ver el comportamiento asintótico de cada uno hacia cero y la suma, respectivamente. Las series de Taylor y Maclaurin también me resultaban muy "poco importantes" (en el sentido de que en ese momento no captaba su utilidad), hasta que me mostró cómo los polinomios convergían a la función. Algunos de sus archivos están disponibles en demonstrations.wolfram.com:

http://demonstrations.wolfram.com/SeriesAFewExamples/ http://demonstrations.wolfram.com/SeriesStepsOnANumberLine/ http://demonstrations.wolfram.com/GraphsOfTaylorPolynomials/

Además, una idea clave que siempre se me ha quedado grabada, es que sólo sabemos realizar las operaciones aritméticas básicas, y funciones más complejas como $e^x$ , $\sin x$ etc., pueden calcularse utilizando sólo la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Answer 3

Creo que las series encajan bastante bien con la integral: la integral puede verse como una "serie sobre un conjunto continuo de sumandos", mientras que las series son el análogo discreto. Ambas son generalizaciones de las sumas cotidianas finitas. Las técnicas utilizadas en el estudio de las series infinitas son similares a las utilizadas para las integrales impropias, y la prueba de convergencia de las integrales es otra razón por la que conocer las integrales antes de estudiar las series puede ser útil.

En cuanto a por qué es importante el estudio de las series, creo que deberías utilizar ejemplos motivadores de los campos que tus alumnos conocen, si es posible. Hay un ejemplo básico "global" que se me ocurre: las paradojas de Zenón.

Answer 4

Creo que las series de potencias fueron la principal motivación para el estudio formal de las series infinitas; por ejemplo, muchísimos trabajos de Euler consisten simplemente en multiplicar series de potencias formales sin ninguna preocupación explícita por la convergencia. Tal vez la demostración de, por ejemplo, los productos de Euler en la teoría de los números mostraría por qué nos interesaría tener una base firme en la que apoyar ese argumento.

Answer 5

Algunas cosas de CS / ingeniería informática:

1. Newton-Raphson La división es una forma inteligente en la que se puede hacer la división con sólo usar la multiplicación / adición. Decirle a la gente que así es como las calculadoras hacen la división puede ser interesante, y obviamente es relevante para los estudiantes de ECE. (Ver el análisis de su error para saber cómo se relaciona con la serie Taylor).
2. Puedes utilizar sumas infinitas para calcular pi, e, etc.
3. Más relevante para calc es el hecho de que los métodos de integración numérica utilizan, por ejemplo, el método de Simpson, cuyo análisis de errores está relacionado con las series de Taylor.
4. (Además, aquí Calc II es el mismo curso en el que se introduce a la gente en el álgebra lineal, y ojalá alguien me hubiera dicho que PageRank era un problema de vectores propios. Así que un consejo no solicitado si es el mismo donde estás es introducir los vectores propios de esta manera)