Evaluar el límite del cociente de sumas de senos (sin L ' Hopital): $\lim_{x\to0} \frac{\sin x+\sin3x+\sin5x}{\sin2x+\sin4x+\sin6x}$

Question

Límite a evaluar: $$\lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{\sin{(x)}+\sin{(3x)}+\sin{(5x)}}{\sin{(2x)}+\sin{(4x)}+\sin{(6x)}}$ $

Propuesta de solución: $$ \cfrac{\sin(x)+\sin(3x)+\sin(5x)}{\sin(2x)+\sin(4x)+\sin(6x)} \Bigg/ \cdot\ \cfrac{1/x}{1/x}\Bigg/= \frac{\cfrac{\sin(x)} x + \cfrac{\sin(3x)} {x 3} \cdot 3 + \cfrac{\sin(5x)} {5 x} \cdot 5} {\cfrac{\sin(2x)} {x 2} \cdot 2 + \ cfrac{\sin(4x)} {x 4} \cdot 4 + \cfrac{\sin(6x)} {6 x} \cdot 6} $$

Usando el $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}x=1$, obtenemos %#% $ #%

Por favor me diga si me equivoco.

Answer 1

Sugerencia:

$${f(x)\over g(x)}={{f(x)\over x}\over{g(x)\over x}}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\sin (ax) =(ax)+O(x^3)$$

$x\to 0$.

Answer 3

SUGERENCIA:

Fórmula de Prosthaphaeresis ,

$$\sin(a-2)x+\sin(ax)+\sin(a+2)x$$ $$=\sin(ax)+[\sin(a-2)x+\sin(a+2)x]$$ $$=\sin(ax)[1+2\cos2x]$$

Answer 4

Usar $$ 2·\cos x·\sin(kx) = \sin((k+1)x)+\sin((k-1)x) $$ o 2\sin(x/2)\sin(kx)=\cos((k-1/2)x)-\cos((k+1/2)x) $$ $$ o algo similar.

Answer 5

El método en la versión actual de la cuestión es correcta.

Supongo que un poco de minucias, se podría añadir que en cosas como $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)} {x 3} $$ se debe tener en cuenta que $x\to0$, uno también tiene $3x\to0$. Entonces uno tiene $$ \lim_{3x\to0} \frac{\sin(3x)} {x 3} = u \lim_{u\to0}\frac{\sin} u = 1. $$