¿Se sabe si el $A^2-(x^2+3)B^2=1$ de la ecuación tiene una solución $A,B\in{\mathbb Q}(x)$ $B\neq 0$?
Mis pensamientos: creo que no hay solución, como la solución fundamental de $A^2-(x^2+3)B^2=1$ $x\in {\mathbb Z}$ parece variar incontroladamente.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?$$ \left( 2x^2 + 3 \right)^2 - \left( x^2 + 3 \right) \left( 2x \right)^2 = 9 $$ $$ \left( \frac{2}{3}x^2 + 1 \right)^2 - \left( x^2 + 3 \right) \left( \frac{2}{3}x \right)^2 = 1 $$
De $ \color{red}{\mbox{Jyrki's}} $ comentario, material que no se había dado cuenta aplica aquí: tenemos una matriz que tiene una solución ( como un vector columna) a la siguiente, en forma de matriz $$ M = \left( \begin{array}{cc} \frac{2}{3} x^2 + 1 & \frac{2}{3} x^3 + 2x \\ \frac{2}{3} x & \frac{2}{3} x^2 + 1 \end{array} \right) $$ A su vez, tenemos soluciones $(A_n, B_n)$ $A_0 = 1, A_1 = \frac{2}{3} x^2 + 1,$ $B_0 = 0, B_1 = \frac{2}{3} x,$ finalmente, a partir de Cayley-Hamilton $$ A_{n+2} = \left(\frac{4}{3} x^2 + 2 \right) A_{n+1} - A_n $$ y $$ B_{n+2} = \left(\frac{4}{3} x^2 + 2 \right) B_{n+1} - B_n. $$
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$$ \left( \frac{8}{163}x^2 + \frac{8}{163}x + \frac{165}{163} \right)^2 - \left( x^2 + x + 41 \right) \left( \frac{8}{163}x + \frac{4}{163} \right)^2 = 1 $$
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$$ \left( x^2 + \frac{k}{2} \right)^2 - \left( x^2 + k \right) \left( x \right)^2 = \frac{k^2}{4} $$
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$$ \left( x^2 + \frac{4k+1}{8} \right)^2 - \left( x^2 + x + k \right) \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{(4k-1)^2}{64} $$ =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Para estas formas principales, siempre se puede ajustar mediante la multiplicación de los términos apropiados por una racional constante para obtener $1$ en el lado derecho, $2/k$ o $8/(4k-1).$
Stephan Aßmus
Puntos
16
tiene problemas para hacer nada en el ring $\mathbb Q[x]$ para quartics. Por otro lado, si usted realmente quería decir el campo de funciones racionales $\mathbb Q(x),$ tenemos fácil. Dado algunos $h(x)$ que podría ser un polinomio, tomar su favorito polinomios $f,g.$ entonces $$ \left( \frac{h g^2 + f^2}{h g^2 - f^2} \right)^2 - h \cdot \left( \frac{2fg}{h g^2 - f^2} \right)^2 = 1 $ $
