¿Qué formas, con límite que se derrumbó a un punto, son homeomorfa a $S^n$?

Question

Considere la siguiente construcción:

Dado un conjunto $A\subseteq\Bbb R^n$, de forma que el cociente del espacio de $A/\sim$ que identifica a todos los puntos de la frontera de $\partial A$ (w.r.t $\Bbb R^n$).

Para que los conjuntos de $A$ es el resultado topológico del espacio homeomórficos a $S^n$? Obviamente esto funciona para $D^n$ (la unidad de la bola en $\Bbb R^n$), así como de $[0,1]^n$ $\Delta^n$ (simplex). Pero creo que también se trabajará en mucho más complicado, como la curva de Koch (interior). En 2D, creo que el mapeo de Riemann teorema ayudará a construir un homeomorphism, pero no sé si eso se generaliza a $\Bbb R^n$.

Algunas condiciones necesarias:

• $A^\circ$ debe trayectoria-conectado, porque no es un camino de $S^n$ conectar cualquiera de los dos puntos y evitar el polo. Más generalmente, $A^\circ$ debe ser homeomórficos a $\Bbb R^n$, por lo que debe ser, de hecho, simplemente conectado.
• Por razones similares, $A$ no puede estar en ninguna parte densa.
• $A^\circ$ debe estar acotada. Si no, tomar alguna secuencia $(x_n)\in A^\circ$ que diverge a infinito (y satisface $d(x_m,x_n)\ge1$$m\ne n$), y tomar una larga que converge en $S^n$ (necesariamente al poste). A continuación, $A\setminus\bigcup_n\bar B(x_n,\frac12\min(d(x_n,\partial A),1))$ está abierto en $A$, debido a que todos los conjuntos cerrados de la unión están separados unos de otros, y contiene $\partial A$, por lo tanto la imagen es un conjunto abierto que contiene al polo y a falta de todos los $x_n$'s, una contradicción.

Answer 1

Condiciones necesarias y suficientes que son $A\supseteq\overline{A^\circ}$, $\overline{A^\circ}$ es compacto, y $A^\circ$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$. En primer lugar, supongamos que se cumplen estas condiciones. Tenga en cuenta que $A/{\sim}\cong\overline{A^\circ}/{\sim}$, por lo que podemos suponer $A=\overline{A^\circ}$ y, en particular, que $A$ es compacto. Entonces a partir de la $\sim$ es un cerrado de equivalencia de la relación en un compacto Hausdorff espacio, el cociente $A/{\sim}$ es también compacto de Hausdorff. También es fácil ver que el cociente mapa restringe a un homeomorphism (a su imagen) en $A^\circ$. Por lo tanto $A/{\sim}$ es un punto de compactification de un espacio homeomórficos a $\mathbb{R}^n$, y por lo $A/{\sim}$ es homeomórficos a $S^n$.

Por el contrario, supongamos $A/{\sim}\cong S^n$. Usted ya ha notado que $A^\circ\cong\mathbb{R}^n$. Si $\overline{A^\circ}$ no es compacto o no está contenido en $A$, se puede elegir una secuencia $(x_n)$ $A^\circ$ que no se acumula en cualquier punto de $A$. El conjunto $X=\{x_n\}$ a continuación, se cierra en $A$ saturados y en $\sim$, por lo que su imagen en $A/{\sim}$ es cerrado. Pero el mismo razonamiento muestra que la imagen de cualquier subconjunto de a $X$ también está cerrada. Así, la imagen de $X$ es un infinito cerrado discretos subconjunto de $A/{\sim}$. Esto es una contradicción, ya que $A/{\sim}\cong S^n$ es compacto.