Soy un estudiante de matemáticas nivel licenciatura y que sólo he hecho una serie de ejercicios sobre campos de sigma y teoría elemental de conjuntos. Han comenzado los cursos y discuten eventos de probabilidad como conjuntos. No puedo ver el enlace entre los campos de sigma y teoría de la probabilidad. ¿Alguien puede explicarme esto intuitivamente a nivel licenciatura?
Respuesta
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$\sigma$-campos, también conocido como $\sigma$-álgebras, se utiliza el modelo de "eventos a los que podemos asignar una probabilidad a". Queremos que algunas propiedades de este tipo de eventos:
- Si podemos asignar una probabilidad de dos eventos, entonces podemos asignar una probabilidad de que ambos eventos ocurren.
- Si podemos asignar una probabilidad de dos eventos, entonces podemos asignar una probabilidad de que al menos uno de ellos sucede.
- Si podemos asignar una probabilidad a un evento, entonces se puede asignar una probabilidad de que no suceda.
Estos tres eficazmente describir intersección, unión y complementos. Así que si queremos pensar de eventos como "conjuntos de resultados posibles" esto significa que una colección de conjuntos de modelos de eventos debe ser cerrado bajo intersección, unión y complementos.
Pero, ¿por qué contables de los sindicatos (o igualmente, contables intersecciones, o contables distintos sindicatos)? Bien. Moderna de la probabilidad no se limita sólo a algo que tiene cuatro, o cinco, o siete, o de ochenta millones de posibles resultados. Incluso si usted está interesado en un objeto finito, que generalmente no están interesados en limitar su tamaño desde el principio.
Así que incluso si usted no está interesado en el caso infinito, preguntando qué sucede cuando su probabilidad de espacio crece más y más grande, y si hay o no hay algún "uniforme de comportamiento", que finalmente tiene un comportamiento previsible, es una buena pregunta que vale la pena preguntar y vale la pena responder. Y para ese propósito, conjuntos infinitos hecho de manera muy útil.
Cierre contable de los sindicatos, los distintos sindicatos de los/las intersecciones se asegura de que si tenemos una secuencia de eventos, luego de su unión o intersección, aún es un evento en sí mismo. Para que podamos hablar sobre el límite de eventos (como límite de conjuntos) como un evento de sus propios derechos, y por lo tanto asignar probabilidad a ese evento.
