Probabilidad de una cierta suma de valores de un conjunto de dados rollos

Question

Una figura de seis lados se rueda el dado 100 veces. Utilizando la aproximación normal, encontrar la probabilidad de que la cara que muestra seis vueltas entre 15 y 20 veces. Encontrar la probabilidad de que la suma de los valores de cara de los 100 ensayos es de menos de 300.

Para la primera parte de la pregunta, hice lo siguiente:

$P(15 \le X \le 20) = \sum_{15 \le i \le 20} C(100,i)(\frac{1}{6})^i(\frac{5}{6})^{100-i}$

Donde X es el número de seises de laminado. Mi respuesta fue acerca de la 0.56.

No tengo idea de cómo hacer la segunda parte. Sé que tengo que hacer algo como

$P(Y<300|N=100)$

Donde Y es la suma y N es el número de veces que se rodó. Pero no sé la probabilidad de la suma, así que estoy atascado.

Answer 1

En los comentarios a Glen respuesta que parecen haber usado una aproximación normal pnorm(300, 350, sqrt(3500/12)) para obtener 0.001707396. Esto no es una mala respuesta, aunque se puede hacer mejor.

Si usted usa la continuidad de la corrección de la continuidad de corrección pnorm(299.5, 350, sqrt(3500/12)) que obtendría 0.001553355. Sospecho que esto es lo que se está preguntando.

De hecho, es posible calcular esto con más precisión. El siguiente código R lo hace (sí, sé que ha for de bucles).

sides <-  6   
throws <- 100 

## p[j,i] is probability of exactly (j+sides) after (i+1) throws 
p <- matrix(rep(0, sides*(throws+1)^2 ), ncol=throws+1 )
p[sides,1] <- 1 # probability 1 of score of 0 after 0 throws  

for (i in 2:(throws+1) ){
  for (j in (sides+1):(sides*(throws+1)) ){
     p[j,i] <-  sum(p[(j-sides):(j-1), i-1]) / sides
                                          } 
                            }
sum( p[0:(299+sides), throws+1] ) 

Esto da el resultado 0.001505810.

La aproximación normal con la continuidad de la corrección es dentro de 0.00005, que se ve bien, aunque el error relativo es de alrededor del 3%, que se ve un poco menos impresionante; esto sucede a menudo el uso de la aproximación normal en la cola de la distribución.

Answer 2

Debido a la CLT, se distribuye una suma de variables aleatorias de i.i.d.:

$$ \sum_{i=1}^nX_i \sim N\left(\mu =n\cdot\mu_{X_i},\sigma^2 = n\cdot\sigma^2_{X_i}\right) $$

La media de un rodillo de dados individuales ($X_i$) es de 3,5 y la varianza es 35/12.

Debe ayudar a encontrar la respuesta.