¿Por qué obtengo dos resultados diferentes para el recíproco de $i$ ?

Question

Soy consciente de que la respuesta correcta es $$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$$ Pero igualmente, no encuentro ningún error aquí: $$\frac{1}{i}=\frac{1}{\sqrt{-1}}= \frac{\sqrt{1^2}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} =\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{-1}=i$$ ¿alguien podría decirme por qué no es válido?

Answer 1

No se puede confiar en $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ en el mundo de $\mathbb C$ .

Answer 2

Como la gente está diciendo, no se puede confiar en $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ en $\Bbb C$ . El corte de rama más común (creo) para tomar es sobre el eje real negativo, por lo que $\sqrt{z} = |z|^{1/2}e^{i \theta /2}$ , donde $\theta \in (-\pi, \pi]$ . Si se multiplican dos números juntos, los argumentos se suman, por lo que se puede obtener $$wz = |w||z|e^{i(\phi + \theta)}$$ pero luego cambias $\phi + \theta$ para que $\phi + \theta \in (-\pi, \pi]$ Esto puede no ser necesario si $\phi/2 + \theta/2 \in (-\pi, \pi]$ . Por ejemplo, $\theta = {3 \over 2}\pi = \phi:$ $\phi + \theta = 3\pi = \pi + 2\pi$ pero $\phi/2 + \theta/2 = {3 \over 2}\pi$ . Dejemos que $|w| = |z| = 1$ . Entonces tenemos $$\sqrt{wz} = \sqrt{e^{i(\phi + \theta)}} = \sqrt{e^{i(\pi+2\pi})} = \sqrt{e^{i\pi}} = e^{i\pi/2} \ \ (= 1), \\ \sqrt{w}\sqrt{z} = \sqrt{e^{i\phi}}\sqrt{e^{i\theta}} = {e^{i\phi/2}}{e^{i\theta/2}} = e^{i(\phi/2 + \theta/2)} = e^{i3\pi/2} \ \ (=-1).$$

Answer 3

La raíz cuadrada es una "función multivaluada" cuando se trata de números complejos. Si se elige una rama particular de la raíz cuadrada, hay que modificar identidades como $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$ .